Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

Tele ← 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 → Makro
15 / 20353 / 3967
↖ ↑ ↗
← N 79.434385°
E 43.604736°		 ← 224 m → N 79.434385°
E 43.615723°		 →
↑
224 m
↓
↑
224 m
↓
N 79.432371°
E 43.604736°		 ← 224.04 m →
50 182 m²		 N 79.432371°
E 43.615723°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 15 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 20353 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 3967 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.621139526367188 y=0.121078491210938 und der Vergrößerungsstufe zoom=15 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.621139526367188 × 215)
    floor (0.621139526367188 × 32768)
    floor (20353.5)     		tx = 20353
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.121078491210938 × 215)
    floor (0.121078491210938 × 32768)
    floor (3967.5)     		ty = 3967
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 15 / 20353 / 3967 ti = "15/20353/3967"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/15/20353/3967.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 20353 ÷ 215
    20353 ÷ 32768     		x = 0.621124267578125
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 3967 ÷ 215
    3967 ÷ 32768     		y = 0.121063232421875
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.621124267578125 × 2 - 1) × π
    0.24224853515625 × 3.1415926535     		Λ = 0.76104622
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.121063232421875 × 2 - 1) × π
    0.75787353515625 × 3.1415926535     		Φ = 2.38092993032895
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.76104622} λ = 0.76104622}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(2.38092993032895))-π/2
    2×atan(10.8149553441345)-π/2
    2×1.47859394581011-π/2
    2.95718789162022-1.57079632675     		φ = 1.38639156
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.76104622} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 43.604736°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.38639156 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 79.434385°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 20353 KachelY 3967 0.76104622 1.38639156 43.604736 79.434385
    Oben rechts KachelX + 1 20354 KachelY 3967 0.76123797 1.38639156 43.615723 79.434385
    Unten links KachelX 20353 KachelY + 1 3968 0.76104622 1.38635640 43.604736 79.432371
    Unten rechts KachelX + 1 20354 KachelY + 1 3968 0.76123797 1.38635640 43.615723 79.432371
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.38639156-1.38635640) × R
    3.51600000001451e-05 × 6371000     		dl = 224.004360000924m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.38639156-1.38635640) × R
    3.51600000001451e-05 × 6371000     		dr = 224.004360000924m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.76104622-0.76123797) × cos(1.38639156) × R
    0.000191750000000046 × 0.183361424681352 × 6371000     		do = 224.001513326712m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.76104622-0.76123797) × cos(1.38635640) × R
    0.000191750000000046 × 0.183395988450163 × 6371000     		du = 224.043737783319m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.38639156)-sin(1.38635640))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.183361424681352-0.183395988450163)×R²
    abs(0.76123797-0.76104622)×3.45637688110856e-05×R²
    0.000191750000000046×3.45637688110856e-05×6371000²
    0.000191750000000046×3.45637688110856e-05×40589641000000     		ar = 50182.0448682728m²