Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

Tele ← 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 → Makro
15 / 20368 / 4240
↖ ↑ ↗
← N 78.870049°
E 43.769531°		 ← 235.82 m → N 78.870049°
E 43.780518°		 →
↑
235.85 m
↓
↑
235.85 m
↓
N 78.867928°
E 43.769531°		 ← 235.86 m →
55 624 m²		 N 78.867928°
E 43.780518°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 15 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 20368 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 4240 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.621597290039062 y=0.129409790039062 und der Vergrößerungsstufe zoom=15 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.621597290039062 × 215)
    floor (0.621597290039062 × 32768)
    floor (20368.5)     		tx = 20368
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.129409790039062 × 215)
    floor (0.129409790039062 × 32768)
    floor (4240.5)     		ty = 4240
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 15 / 20368 / 4240 ti = "15/20368/4240"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/15/20368/4240.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 20368 ÷ 215
    20368 ÷ 32768     		x = 0.62158203125
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 4240 ÷ 215
    4240 ÷ 32768     		y = 0.12939453125
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.62158203125 × 2 - 1) × π
    0.2431640625 × 3.1415926535     		Λ = 0.76392243
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.12939453125 × 2 - 1) × π
    0.7412109375 × 3.1415926535     		Φ = 2.32858283594385
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.76392243} λ = 0.76392243}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(2.32858283594385))-π/2
    2×atan(10.2633863197302)-π/2
    2×1.47366917709551-π/2
    2.94733835419102-1.57079632675     		φ = 1.37654203
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.76392243} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 43.769531°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.37654203 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 78.870049°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 20368 KachelY 4240 0.76392243 1.37654203 43.769531 78.870049
    Oben rechts KachelX + 1 20369 KachelY 4240 0.76411418 1.37654203 43.780518 78.870049
    Unten links KachelX 20368 KachelY + 1 4241 0.76392243 1.37650501 43.769531 78.867928
    Unten rechts KachelX + 1 20369 KachelY + 1 4241 0.76411418 1.37650501 43.780518 78.867928
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.37654203-1.37650501) × R
    3.70199999999432e-05 × 6371000     		dl = 235.854419999638m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.37654203-1.37650501) × R
    3.70199999999432e-05 × 6371000     		dr = 235.854419999638m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.76392243-0.76411418) × cos(1.37654203) × R
    0.000191749999999935 × 0.193034910764488 × 6371000     		do = 235.819023610066m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.76392243-0.76411418) × cos(1.37650501) × R
    0.000191749999999935 × 0.193071234355939 × 6371000     		du = 235.863397935083m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.37654203)-sin(1.37650501))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.193034910764488-0.193071234355939)×R²
    abs(0.76411418-0.76392243)×3.6323591450671e-05×R²
    0.000191749999999935×3.6323591450671e-05×6371000²
    0.000191749999999935×3.6323591450671e-05×40589641000000     		ar = 55624.1919853018m²