Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

Tele ← 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 → Makro
8 / 204 / 60
↖ ↑ ↗
← N 68.656555°
E106.875000°		 ← 56.911 km → N 68.656555°
E108.281250°		 →
↑
57.566 km
↓
↑
57.566 km
↓
N 68.138852°
E106.875000°		 ← 58.225 km →
3 313.99 km²		 N 68.138852°
E108.281250°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 8 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 204 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 60 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.798828125 y=0.236328125 und der Vergrößerungsstufe zoom=8 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.798828125 × 28)
    floor (0.798828125 × 256)
    floor (204.5)     		tx = 204
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.236328125 × 28)
    floor (0.236328125 × 256)
    floor (60.5)     		ty = 60
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 8 / 204 / 60 ti = "8/204/60"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/8/204/60.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 204 ÷ 28
    204 ÷ 256     		x = 0.796875
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 60 ÷ 28
    60 ÷ 256     		y = 0.234375
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.796875 × 2 - 1) × π
    0.59375 × 3.1415926535     		Λ = 1.86532064
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.234375 × 2 - 1) × π
    0.53125 × 3.1415926535     		Φ = 1.66897109717187
    Länge (λ) Λ (unverändert) 1.86532064} λ = 1.86532064}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.66897109717187))-π/2
    2×atan(5.30670490358644)-π/2
    2×1.38453963216904-π/2
    2.76907926433808-1.57079632675     		φ = 1.19828294
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 1.86532064} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 106.875000°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.19828294 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 68.656555°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 204 KachelY 60 1.86532064 1.19828294 106.875000 68.656555
    Oben rechts KachelX + 1 205 KachelY 60 1.88986433 1.19828294 108.281250 68.656555
    Unten links KachelX 204 KachelY + 1 61 1.86532064 1.18924731 106.875000 68.138852
    Unten rechts KachelX + 1 205 KachelY + 1 61 1.88986433 1.18924731 108.281250 68.138852
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.19828294-1.18924731) × R
    0.00903562999999985 × 6371000     		dl = 57565.998729999m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.19828294-1.18924731) × R
    0.00903562999999985 × 6371000     		dr = 57565.998729999m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(1.86532064-1.88986433) × cos(1.19828294) × R
    0.02454369 × 0.363957586554578 × 6371000     		do = 56911.2649331311m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(1.86532064-1.88986433) × cos(1.18924731) × R
    0.02454369 × 0.372358540952008 × 6371000     		du = 58224.9041017204m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.19828294)-sin(1.18924731))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.363957586554578-0.372358540952008)×R²
    abs(1.88986433-1.86532064)×0.00840095439743049×R²
    0.02454369×0.00840095439743049×6371000²
    0.02454369×0.00840095439743049×40589641000000     		ar = 3313986827.12702m²