Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

Tele ← 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 → Makro
9 / 204 / 60
↖ ↑ ↗
← N 79.687184°
W 36.562500°		 ← 13.997 km → N 79.687184°
W 35.859375°		 →
↑
14.082 km
↓
↑
14.082 km
↓
N 79.560546°
W 36.562500°		 ← 14.167 km →
198.291 km²		 N 79.560546°
W 35.859375°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 9 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 204 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 60 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.3994140625 y=0.1181640625 und der Vergrößerungsstufe zoom=9 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.3994140625 × 29)
    floor (0.3994140625 × 512)
    floor (204.5)     		tx = 204
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.1181640625 × 29)
    floor (0.1181640625 × 512)
    floor (60.5)     		ty = 60
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 9 / 204 / 60 ti = "9/204/60"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/9/204/60.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 204 ÷ 29
    204 ÷ 512     		x = 0.3984375
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 60 ÷ 29
    60 ÷ 512     		y = 0.1171875
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.3984375 × 2 - 1) × π
    -0.203125 × 3.1415926535     		Λ = -0.63813601
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.1171875 × 2 - 1) × π
    0.765625 × 3.1415926535     		Φ = 2.40528187533594
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.63813601} λ = -0.63813601}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(2.40528187533594))-π/2
    2×atan(11.0815534585964)-π/2
    2×1.48080003096091-π/2
    2.96160006192181-1.57079632675     		φ = 1.39080374
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.63813601} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -36.562500°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.39080374 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 79.687184°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 204 KachelY 60 -0.63813601 1.39080374 -36.562500 79.687184
    Oben rechts KachelX + 1 205 KachelY 60 -0.62586416 1.39080374 -35.859375 79.687184
    Unten links KachelX 204 KachelY + 1 61 -0.63813601 1.38859349 -36.562500 79.560546
    Unten rechts KachelX + 1 205 KachelY + 1 61 -0.62586416 1.38859349 -35.859375 79.560546
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.39080374-1.38859349) × R
    0.00221024999999986 × 6371000     		dl = 14081.5027499991m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.39080374-1.38859349) × R
    0.00221024999999986 × 6371000     		dr = 14081.5027499991m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.63813601--0.62586416) × cos(1.39080374) × R
    0.01227185 × 0.179022279985821 × 6371000     		do = 13996.6701240889m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.63813601--0.62586416) × cos(1.38859349) × R
    0.01227185 × 0.181196384390541 × 6371000     		du = 14166.6502079678m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.39080374)-sin(1.38859349))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.179022279985821-0.181196384390541)×R²
    abs(-0.62586416--0.63813601)×0.00217410440472024×R²
    0.01227185×0.00217410440472024×6371000²
    0.01227185×0.00217410440472024×40589641000000     		ar = 198291017.076864m²