Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

Tele ← 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 → Makro
12 / 2040 / 2072
↖ ↑ ↗
← S  2.108899°
W  0.703125°		 ← 9 766.37 m → S  2.108899°
W  0.615235°		 →
↑
9 766.04 m
↓
↑
9 766.04 m
↓
S  2.196727°
W  0.703125°		 ← 9 765.80 m →
95 376 025 m²		 S  2.196727°
W  0.615235°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 12 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 2040 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 2072 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.4981689453125 y=0.5059814453125 und der Vergrößerungsstufe zoom=12 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.4981689453125 × 212)
    floor (0.4981689453125 × 4096)
    floor (2040.5)     		tx = 2040
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.5059814453125 × 212)
    floor (0.5059814453125 × 4096)
    floor (2072.5)     		ty = 2072
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 12 / 2040 / 2072 ti = "12/2040/2072"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/12/2040/2072.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 2040 ÷ 212
    2040 ÷ 4096     		x = 0.498046875
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 2072 ÷ 212
    2072 ÷ 4096     		y = 0.505859375
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.498046875 × 2 - 1) × π
    -0.00390625 × 3.1415926535     		Λ = -0.01227185
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.505859375 × 2 - 1) × π
    -0.01171875 × 3.1415926535     		Φ = -0.0368155389082031
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.01227185} λ = -0.01227185}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.0368155389082031))-π/2
    2×atan(0.963853912497098)-π/2
    2×0.766994550800631-π/2
    1.53398910160126-1.57079632675     		φ = -0.03680723
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.01227185} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -0.703125°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.03680723 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -2.108899°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 2040 KachelY 2072 -0.01227185 -0.03680723 -0.703125 -2.108899
    Oben rechts KachelX + 1 2041 KachelY 2072 -0.01073787 -0.03680723 -0.615235 -2.108899
    Unten links KachelX 2040 KachelY + 1 2073 -0.01227185 -0.03834012 -0.703125 -2.196727
    Unten rechts KachelX + 1 2041 KachelY + 1 2073 -0.01073787 -0.03834012 -0.615235 -2.196727
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.03680723--0.03834012) × R
    0.00153289 × 6371000     		dl = 9766.04218999997m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.03680723--0.03834012) × R
    0.00153289 × 6371000     		dr = 9766.04218999997m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.01227185--0.01073787) × cos(-0.03680723) × R
    0.00153398 × 0.999322690381729 × 6371000     		do = 9766.36724219014m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.01227185--0.01073787) × cos(-0.03834012) × R
    0.00153398 × 0.99926510762797 × 6371000     		du = 9765.80448671041m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.03680723)-sin(-0.03834012))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.999322690381729-0.99926510762797)×R²
    abs(-0.01073787--0.01227185)×5.75827537596663e-05×R²
    0.00153398×5.75827537596663e-05×6371000²
    0.00153398×5.75827537596663e-05×40589641000000     		ar = 95376025.2592166m²