Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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15 / 20420 / 4292
↖ ↑ ↗
← N 78.759229°
E 44.340820°		 ← 238.14 m → N 78.759229°
E 44.351807°		 →
↑
238.21 m
↓
↑
238.21 m
↓
N 78.757087°
E 44.340820°		 ← 238.18 m →
56 732 m²		 N 78.757087°
E 44.351807°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 15 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 20420 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 4292 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.623184204101562 y=0.130996704101562 und der Vergrößerungsstufe zoom=15 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.623184204101562 × 215)
    floor (0.623184204101562 × 32768)
    floor (20420.5)     		tx = 20420
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.130996704101562 × 215)
    floor (0.130996704101562 × 32768)
    floor (4292.5)     		ty = 4292
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 15 / 20420 / 4292 ti = "15/20420/4292"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/15/20420/4292.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 20420 ÷ 215
    20420 ÷ 32768     		x = 0.6231689453125
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 4292 ÷ 215
    4292 ÷ 32768     		y = 0.1309814453125
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.6231689453125 × 2 - 1) × π
    0.246337890625 × 3.1415926535     		Λ = 0.77389331
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.1309814453125 × 2 - 1) × π
    0.738037109375 × 3.1415926535     		Φ = 2.31861196082288
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.77389331} λ = 0.77389331}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(2.31861196082288))-π/2
    2×atan(10.1615598694445)-π/2
    2×1.47270209123458-π/2
    2.94540418246916-1.57079632675     		φ = 1.37460786
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.77389331} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 44.340820°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.37460786 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 78.759229°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 20420 KachelY 4292 0.77389331 1.37460786 44.340820 78.759229
    Oben rechts KachelX + 1 20421 KachelY 4292 0.77408506 1.37460786 44.351807 78.759229
    Unten links KachelX 20420 KachelY + 1 4293 0.77389331 1.37457047 44.340820 78.757087
    Unten rechts KachelX + 1 20421 KachelY + 1 4293 0.77408506 1.37457047 44.351807 78.757087
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.37460786-1.37457047) × R
    3.7389999999915e-05 × 6371000     		dl = 238.211689999458m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.37460786-1.37457047) × R
    3.7389999999915e-05 × 6371000     		dr = 238.211689999458m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.77389331-0.77408506) × cos(1.37460786) × R
    0.000191750000000046 × 0.194932340424342 × 6371000     		do = 238.136998156795m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.77389331-0.77408506) × cos(1.37457047) × R
    0.000191750000000046 × 0.194969013024176 × 6371000     		du = 238.181798844152m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.37460786)-sin(1.37457047))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.194932340424342-0.194969013024176)×R²
    abs(0.77408506-0.77389331)×3.66725998340034e-05×R²
    0.000191750000000046×3.66725998340034e-05×6371000²
    0.000191750000000046×3.66725998340034e-05×40589641000000     		ar = 56732.3528123045m²