Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

Tele ← 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 → Makro
15 / 20424 / 4296
↖ ↑ ↗
← N 78.750659°
E 44.384766°		 ← 238.32 m → N 78.750659°
E 44.395752°		 →
↑
238.34 m
↓
↑
238.34 m
↓
N 78.748516°
E 44.384766°		 ← 238.36 m →
56 805 m²		 N 78.748516°
E 44.395752°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 15 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 20424 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 4296 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.623306274414062 y=0.131118774414062 und der Vergrößerungsstufe zoom=15 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.623306274414062 × 215)
    floor (0.623306274414062 × 32768)
    floor (20424.5)     		tx = 20424
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.131118774414062 × 215)
    floor (0.131118774414062 × 32768)
    floor (4296.5)     		ty = 4296
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 15 / 20424 / 4296 ti = "15/20424/4296"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/15/20424/4296.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 20424 ÷ 215
    20424 ÷ 32768     		x = 0.623291015625
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 4296 ÷ 215
    4296 ÷ 32768     		y = 0.131103515625
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.623291015625 × 2 - 1) × π
    0.24658203125 × 3.1415926535     		Λ = 0.77466030
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.131103515625 × 2 - 1) × π
    0.73779296875 × 3.1415926535     		Φ = 2.31784497042895
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.77466030} λ = 0.77466030}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(2.31784497042895))-π/2
    2×atan(10.1537690387654)-π/2
    2×1.47262730749143-π/2
    2.94525461498286-1.57079632675     		φ = 1.37445829
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.77466030} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 44.384766°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.37445829 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 78.750659°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 20424 KachelY 4296 0.77466030 1.37445829 44.384766 78.750659
    Oben rechts KachelX + 1 20425 KachelY 4296 0.77485205 1.37445829 44.395752 78.750659
    Unten links KachelX 20424 KachelY + 1 4297 0.77466030 1.37442088 44.384766 78.748516
    Unten rechts KachelX + 1 20425 KachelY + 1 4297 0.77485205 1.37442088 44.395752 78.748516
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.37445829-1.37442088) × R
    3.74100000000155e-05 × 6371000     		dl = 238.339110000099m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.37445829-1.37442088) × R
    3.74100000000155e-05 × 6371000     		dr = 238.339110000099m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.77466030-0.77485205) × cos(1.37445829) × R
    0.000191750000000046 × 0.195079038995934 × 6371000     		do = 238.316210889771m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.77466030-0.77485205) × cos(1.37442088) × R
    0.000191750000000046 × 0.195115730120716 × 6371000     		du = 238.361034207932m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.37445829)-sin(1.37442088))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.195079038995934-0.195115730120716)×R²
    abs(0.77485205-0.77466030)×3.66911247819401e-05×R²
    0.000191750000000046×3.66911247819401e-05×6371000²
    0.000191750000000046×3.66911247819401e-05×40589641000000     		ar = 56805.4151835504m²