Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

Tele ← 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 → Makro
15 / 20464 / 28656
↖ ↑ ↗
← S 79.138261°
E 44.824219°		 ← 230.21 m → S 79.138261°
E 44.835205°		 →
↑
230.18 m
↓
↑
230.18 m
↓
S 79.140331°
E 44.824219°		 ← 230.16 m →
52 985 m²		 S 79.140331°
E 44.835205°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 15 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 20464 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 28656 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.624526977539062 y=0.874526977539062 und der Vergrößerungsstufe zoom=15 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.624526977539062 × 215)
    floor (0.624526977539062 × 32768)
    floor (20464.5)     		tx = 20464
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.874526977539062 × 215)
    floor (0.874526977539062 × 32768)
    floor (28656.5)     		ty = 28656
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 15 / 20464 / 28656 ti = "15/20464/28656"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/15/20464/28656.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 20464 ÷ 215
    20464 ÷ 32768     		x = 0.62451171875
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 28656 ÷ 215
    28656 ÷ 32768     		y = 0.87451171875
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.62451171875 × 2 - 1) × π
    0.2490234375 × 3.1415926535     		Λ = 0.78233020
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.87451171875 × 2 - 1) × π
    -0.7490234375 × 3.1415926535     		Φ = -2.35312652854932
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.78233020} λ = 0.78233020}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-2.35312652854932))-π/2
    2×atan(0.0950714534471533)-π/2
    2×0.0947865598596324-π/2
    0.189573119719265-1.57079632675     		φ = -1.38122321
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.78233020} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 44.824219°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.38122321 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -79.138261°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 20464 KachelY 28656 0.78233020 -1.38122321 44.824219 -79.138261
    Oben rechts KachelX + 1 20465 KachelY 28656 0.78252195 -1.38122321 44.835205 -79.138261
    Unten links KachelX 20464 KachelY + 1 28657 0.78233020 -1.38125934 44.824219 -79.140331
    Unten rechts KachelX + 1 20465 KachelY + 1 28657 0.78252195 -1.38125934 44.835205 -79.140331
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.38122321--1.38125934) × R
    3.61300000000231e-05 × 6371000     		dl = 230.184230000147m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.38122321--1.38125934) × R
    3.61300000000231e-05 × 6371000     		dr = 230.184230000147m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.78233020-0.78252195) × cos(-1.38122321) × R
    0.000191750000000046 × 0.188439676666111 × 6371000     		do = 230.205305272686m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.78233020-0.78252195) × cos(-1.38125934) × R
    0.000191750000000046 × 0.188404193820519 × 6371000     		du = 230.161958035809m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.38122321)-sin(-1.38125934))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.188439676666111-0.188404193820519)×R²
    abs(0.78252195-0.78233020)×3.54828455922107e-05×R²
    0.000191750000000046×3.54828455922107e-05×6371000²
    0.000191750000000046×3.54828455922107e-05×40589641000000     		ar = 52984.6420168754m²