Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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15 / 20472 / 4088
↖ ↑ ↗
← N 79.187835°
E 44.912109°		 ← 229.17 m → N 79.187835°
E 44.923096°		 →
↑
229.16 m
↓
↑
229.16 m
↓
N 79.185774°
E 44.912109°		 ← 229.21 m →
52 522 m²		 N 79.185774°
E 44.923096°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 15 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 20472 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 4088 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.624771118164062 y=0.124771118164062 und der Vergrößerungsstufe zoom=15 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.624771118164062 × 215)
    floor (0.624771118164062 × 32768)
    floor (20472.5)     		tx = 20472
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.124771118164062 × 215)
    floor (0.124771118164062 × 32768)
    floor (4088.5)     		ty = 4088
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 15 / 20472 / 4088 ti = "15/20472/4088"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/15/20472/4088.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 20472 ÷ 215
    20472 ÷ 32768     		x = 0.624755859375
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 4088 ÷ 215
    4088 ÷ 32768     		y = 0.124755859375
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.624755859375 × 2 - 1) × π
    0.24951171875 × 3.1415926535     		Λ = 0.78386418
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.124755859375 × 2 - 1) × π
    0.75048828125 × 3.1415926535     		Φ = 2.35772847091284
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.78386418} λ = 0.78386418}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(2.35772847091284))-π/2
    2×atan(10.5669211013024)-π/2
    2×1.47644238281365-π/2
    2.95288476562731-1.57079632675     		φ = 1.38208844
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.78386418} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 44.912109°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.38208844 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 79.187835°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 20472 KachelY 4088 0.78386418 1.38208844 44.912109 79.187835
    Oben rechts KachelX + 1 20473 KachelY 4088 0.78405593 1.38208844 44.923096 79.187835
    Unten links KachelX 20472 KachelY + 1 4089 0.78386418 1.38205247 44.912109 79.185774
    Unten rechts KachelX + 1 20473 KachelY + 1 4089 0.78405593 1.38205247 44.923096 79.185774
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.38208844-1.38205247) × R
    3.59699999998853e-05 × 6371000     		dl = 229.164869999269m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.38208844-1.38205247) × R
    3.59699999998853e-05 × 6371000     		dr = 229.164869999269m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.78386418-0.78405593) × cos(1.38208844) × R
    0.000191749999999935 × 0.187589877034631 × 6371000     		do = 229.167156688102m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.78386418-0.78405593) × cos(1.38205247) × R
    0.000191749999999935 × 0.18762520835377 × 6371000     		du = 229.210318814315m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.38208844)-sin(1.38205247))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.187589877034631-0.18762520835377)×R²
    abs(0.78405593-0.78386418)×3.53313191384375e-05×R²
    0.000191749999999935×3.53313191384375e-05×6371000²
    0.000191749999999935×3.53313191384375e-05×40589641000000     		ar = 52522.0072982325m²