Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

Tele ← 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 → Makro
15 / 20476 / 12292
↖ ↑ ↗
← N 40.946714°
E 44.956055°		 ← 922.73 m → N 40.946714°
E 44.967041°		 →
↑
922.78 m
↓
↑
922.78 m
↓
N 40.938415°
E 44.956055°		 ← 922.84 m →
851 524 m²		 N 40.938415°
E 44.967041°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 15 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 20476 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 12292 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.624893188476562 y=0.375137329101562 und der Vergrößerungsstufe zoom=15 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.624893188476562 × 215)
    floor (0.624893188476562 × 32768)
    floor (20476.5)     		tx = 20476
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.375137329101562 × 215)
    floor (0.375137329101562 × 32768)
    floor (12292.5)     		ty = 12292
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 15 / 20476 / 12292 ti = "15/20476/12292"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/15/20476/12292.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 20476 ÷ 215
    20476 ÷ 32768     		x = 0.6248779296875
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 12292 ÷ 215
    12292 ÷ 32768     		y = 0.3751220703125
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.6248779296875 × 2 - 1) × π
    0.249755859375 × 3.1415926535     		Λ = 0.78463117
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.3751220703125 × 2 - 1) × π
    0.249755859375 × 3.1415926535     		Φ = 0.784631172981079
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.78463117} λ = 0.78463117}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(0.784631172981079))-π/2
    2×atan(2.19159847091892)-π/2
    2×1.14272564905248-π/2
    2.28545129810496-1.57079632675     		φ = 0.71465497
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.78463117} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 44.956055°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.71465497 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 40.946714°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 20476 KachelY 12292 0.78463117 0.71465497 44.956055 40.946714
    Oben rechts KachelX + 1 20477 KachelY 12292 0.78482292 0.71465497 44.967041 40.946714
    Unten links KachelX 20476 KachelY + 1 12293 0.78463117 0.71451013 44.956055 40.938415
    Unten rechts KachelX + 1 20477 KachelY + 1 12293 0.78482292 0.71451013 44.967041 40.938415
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.71465497-0.71451013) × R
    0.000144840000000035 × 6371000     		dl = 922.775640000223m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.71465497-0.71451013) × R
    0.000144840000000035 × 6371000     		dr = 922.775640000223m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.78463117-0.78482292) × cos(0.71465497) × R
    0.000191749999999935 × 0.755319403939046 × 6371000     		do = 922.727830138231m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.78463117-0.78482292) × cos(0.71451013) × R
    0.000191749999999935 × 0.755414317901776 × 6371000     		du = 922.843780760475m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.71465497)-sin(0.71451013))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.755319403939046-0.755414317901776)×R²
    abs(0.78482292-0.78463117)×9.49139627303142e-05×R²
    0.000191749999999935×9.49139627303142e-05×6371000²
    0.000191749999999935×9.49139627303142e-05×40589641000000     		ar = 851524.263695461m²