Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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15 / 20476 / 4091
↖ ↑ ↗
← N 79.181650°
E 44.956055°		 ← 229.30 m → N 79.181650°
E 44.967041°		 →
↑
229.29 m
↓
↑
229.29 m
↓
N 79.179588°
E 44.956055°		 ← 229.34 m →
52 581 m²		 N 79.179588°
E 44.967041°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 15 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 20476 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 4091 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.624893188476562 y=0.124862670898438 und der Vergrößerungsstufe zoom=15 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.624893188476562 × 215)
    floor (0.624893188476562 × 32768)
    floor (20476.5)     		tx = 20476
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.124862670898438 × 215)
    floor (0.124862670898438 × 32768)
    floor (4091.5)     		ty = 4091
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 15 / 20476 / 4091 ti = "15/20476/4091"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/15/20476/4091.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 20476 ÷ 215
    20476 ÷ 32768     		x = 0.6248779296875
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 4091 ÷ 215
    4091 ÷ 32768     		y = 0.124847412109375
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.6248779296875 × 2 - 1) × π
    0.249755859375 × 3.1415926535     		Λ = 0.78463117
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.124847412109375 × 2 - 1) × π
    0.75030517578125 × 3.1415926535     		Φ = 2.3571532281174
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.78463117} λ = 0.78463117}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(2.3571532281174))-π/2
    2×atan(10.5608443040534)-π/2
    2×1.47638841270485-π/2
    2.9527768254097-1.57079632675     		φ = 1.38198050
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.78463117} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 44.956055°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.38198050 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 79.181650°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 20476 KachelY 4091 0.78463117 1.38198050 44.956055 79.181650
    Oben rechts KachelX + 1 20477 KachelY 4091 0.78482292 1.38198050 44.967041 79.181650
    Unten links KachelX 20476 KachelY + 1 4092 0.78463117 1.38194451 44.956055 79.179588
    Unten rechts KachelX + 1 20477 KachelY + 1 4092 0.78482292 1.38194451 44.967041 79.179588
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.38198050-1.38194451) × R
    3.59899999999858e-05 × 6371000     		dl = 229.292289999909m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.38198050-1.38194451) × R
    3.59899999999858e-05 × 6371000     		dr = 229.292289999909m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.78463117-0.78482292) × cos(1.38198050) × R
    0.000191749999999935 × 0.187695899730545 × 6371000     		do = 229.296678174821m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.78463117-0.78482292) × cos(1.38194451) × R
    0.000191749999999935 × 0.187731249965481 × 6371000     		du = 229.339863409316m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.38198050)-sin(1.38194451))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.187695899730545-0.187731249965481)×R²
    abs(0.78482292-0.78463117)×3.53502349360046e-05×R²
    0.000191749999999935×3.53502349360046e-05×6371000²
    0.000191749999999935×3.53502349360046e-05×40589641000000     		ar = 52580.9114544445m²