Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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15 / 20479 / 28673
↖ ↑ ↗
← S 79.173398°
E 44.989014°		 ← 229.46 m → S 79.173398°
E 45.000000°		 →
↑
229.48 m
↓
↑
229.48 m
↓
S 79.175462°
E 44.989014°		 ← 229.41 m →
52 652 m²		 S 79.175462°
E 45.000000°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 15 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 20479 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 28673 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.624984741210938 y=0.875045776367188 und der Vergrößerungsstufe zoom=15 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.624984741210938 × 215)
    floor (0.624984741210938 × 32768)
    floor (20479.5)     		tx = 20479
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.875045776367188 × 215)
    floor (0.875045776367188 × 32768)
    floor (28673.5)     		ty = 28673
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 15 / 20479 / 28673 ti = "15/20479/28673"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/15/20479/28673.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 20479 ÷ 215
    20479 ÷ 32768     		x = 0.624969482421875
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 28673 ÷ 215
    28673 ÷ 32768     		y = 0.875030517578125
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.624969482421875 × 2 - 1) × π
    0.24993896484375 × 3.1415926535     		Λ = 0.78520642
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.875030517578125 × 2 - 1) × π
    -0.75006103515625 × 3.1415926535     		Φ = -2.35638623772348
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.78520642} λ = 0.78520642}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-2.35638623772348))-π/2
    2×atan(0.0947620527103273)-π/2
    2×0.0944799216867308-π/2
    0.188959843373462-1.57079632675     		φ = -1.38183648
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.78520642} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 44.989014°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.38183648 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -79.173398°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 20479 KachelY 28673 0.78520642 -1.38183648 44.989014 -79.173398
    Oben rechts KachelX + 1 20480 KachelY 28673 0.78539816 -1.38183648 45.000000 -79.173398
    Unten links KachelX 20479 KachelY + 1 28674 0.78520642 -1.38187250 44.989014 -79.175462
    Unten rechts KachelX + 1 20480 KachelY + 1 28674 0.78539816 -1.38187250 45.000000 -79.175462
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.38183648--1.38187250) × R
    3.60200000000255e-05 × 6371000     		dl = 229.483420000162m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.38183648--1.38187250) × R
    3.60200000000255e-05 × 6371000     		dr = 229.483420000162m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.78520642-0.78539816) × cos(-1.38183648) × R
    0.000191739999999996 × 0.187837358143128 × 6371000     		do = 229.45752220586m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.78520642-0.78539816) × cos(-1.38187250) × R
    0.000191739999999996 × 0.187801979172021 × 6371000     		du = 229.414304120126m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.38183648)-sin(-1.38187250))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.187837358143128-0.187801979172021)×R²
    abs(0.78539816-0.78520642)×3.53789711067254e-05×R²
    0.000191739999999996×3.53789711067254e-05×6371000²
    0.000191739999999996×3.53789711067254e-05×40589641000000     		ar = 52651.7380289217m²