Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

Tele ← 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 → Makro
15 / 20479 / 28674
↖ ↑ ↗
← S 79.175462°
E 44.989014°		 ← 229.41 m → S 79.175462°
E 45.000000°		 →
↑
229.36 m
↓
↑
229.36 m
↓
S 79.177525°
E 44.989014°		 ← 229.37 m →
52 613 m²		 S 79.177525°
E 45.000000°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 15 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 20479 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 28674 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.624984741210938 y=0.875076293945312 und der Vergrößerungsstufe zoom=15 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.624984741210938 × 215)
    floor (0.624984741210938 × 32768)
    floor (20479.5)     		tx = 20479
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.875076293945312 × 215)
    floor (0.875076293945312 × 32768)
    floor (28674.5)     		ty = 28674
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 15 / 20479 / 28674 ti = "15/20479/28674"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/15/20479/28674.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 20479 ÷ 215
    20479 ÷ 32768     		x = 0.624969482421875
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 28674 ÷ 215
    28674 ÷ 32768     		y = 0.87506103515625
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.624969482421875 × 2 - 1) × π
    0.24993896484375 × 3.1415926535     		Λ = 0.78520642
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.87506103515625 × 2 - 1) × π
    -0.7501220703125 × 3.1415926535     		Φ = -2.35657798532196
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.78520642} λ = 0.78520642}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-2.35657798532196))-π/2
    2×atan(0.0947438840562466)-π/2
    2×0.0944619147016141-π/2
    0.188923829403228-1.57079632675     		φ = -1.38187250
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.78520642} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 44.989014°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.38187250 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -79.175462°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 20479 KachelY 28674 0.78520642 -1.38187250 44.989014 -79.175462
    Oben rechts KachelX + 1 20480 KachelY 28674 0.78539816 -1.38187250 45.000000 -79.175462
    Unten links KachelX 20479 KachelY + 1 28675 0.78520642 -1.38190850 44.989014 -79.177525
    Unten rechts KachelX + 1 20480 KachelY + 1 28675 0.78539816 -1.38190850 45.000000 -79.177525
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.38187250--1.38190850) × R
    3.5999999999925e-05 × 6371000     		dl = 229.355999999522m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.38187250--1.38190850) × R
    3.5999999999925e-05 × 6371000     		dr = 229.355999999522m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.78520642-0.78539816) × cos(-1.38187250) × R
    0.000191739999999996 × 0.187801979172021 × 6371000     		do = 229.414304120126m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.78520642-0.78539816) × cos(-1.38190850) × R
    0.000191739999999996 × 0.187766619601526 × 6371000     		du = 229.371109733704m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.38187250)-sin(-1.38190850))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.187801979172021-0.187766619601526)×R²
    abs(0.78539816-0.78520642)×3.53595704950249e-05×R²
    0.000191739999999996×3.53595704950249e-05×6371000²
    0.000191739999999996×3.53595704950249e-05×40589641000000     		ar = 52612.5936954681m²