Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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12 / 2048 / 2048
↖ ↑ ↗
← N  0.000000°
E  0.000000°		 ← 9 772.99 m → N  0.000000°
E  0.087891°		 →
↑
9 772.99 m
↓
↑
9 772.99 m
↓
S  0.087891°
E  0.000000°		 ← 9 772.98 m →
95 511 229 m²		 S  0.087891°
E  0.087891°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 12 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 2048 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 2048 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.5001220703125 y=0.5001220703125 und der Vergrößerungsstufe zoom=12 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.5001220703125 × 212)
    floor (0.5001220703125 × 4096)
    floor (2048.5)     		tx = 2048
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.5001220703125 × 212)
    floor (0.5001220703125 × 4096)
    floor (2048.5)     		ty = 2048
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 12 / 2048 / 2048 ti = "12/2048/2048"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/12/2048/2048.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 2048 ÷ 212
    2048 ÷ 4096     		x = 0.5
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 2048 ÷ 212
    2048 ÷ 4096     		y = 0.5
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.5 × 2 - 1) × π
    0 × 3.1415926535     		Λ = 0.00000000
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.5 × 2 - 1) × π
    0 × 3.1415926535     		Φ = 0
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.00000000} λ = 0.00000000}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(0))-π/2
    2×atan(1)-π/2
    2×0.785398163397448-π/2
    1.5707963267949-1.57079632675     		φ = 0.00000000
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.00000000} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 0.000000°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.00000000 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 0.000000°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 2048 KachelY 2048 0.00000000 0.00000000 0.000000 0.000000
    Oben rechts KachelX + 1 2049 KachelY 2048 0.00153398 0.00000000 0.087891 0.000000
    Unten links KachelX 2048 KachelY + 1 2049 0.00000000 -0.00153398 0.000000 -0.087891
    Unten rechts KachelX + 1 2049 KachelY + 1 2049 0.00153398 -0.00153398 0.087891 -0.087891
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.00000000--0.00153398) × R
    0.00153398 × 6371000     		dl = 9772.98658m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.00000000--0.00153398) × R
    0.00153398 × 6371000     		dr = 9772.98658m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.00000000-0.00153398) × cos(0.00000000) × R
    0.00153398 × 1 × 6371000     		do = 9772.98658m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.00000000-0.00153398) × cos(-0.00153398) × R
    0.00153398 × 0.99999882345291 × 6371000     		du = 9772.97508162108m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.00000000)-sin(-0.00153398))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(1-0.99999882345291)×R²
    abs(0.00153398-0.00000000)×1.17654708953197e-06×R²
    0.00153398×1.17654708953197e-06×6371000²
    0.00153398×1.17654708953197e-06×40589641000000     		ar = 95511229.2350229m²