Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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15 / 20480 / 4096
↖ ↑ ↗
← N 79.171334°
E 45.000000°		 ← 229.51 m → N 79.171334°
E 45.010986°		 →
↑
229.48 m
↓
↑
229.48 m
↓
N 79.169271°
E 45.000000°		 ← 229.56 m →
52 674 m²		 N 79.169271°
E 45.010986°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 15 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 20480 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 4096 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.625015258789062 y=0.125015258789062 und der Vergrößerungsstufe zoom=15 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.625015258789062 × 215)
    floor (0.625015258789062 × 32768)
    floor (20480.5)     		tx = 20480
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.125015258789062 × 215)
    floor (0.125015258789062 × 32768)
    floor (4096.5)     		ty = 4096
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 15 / 20480 / 4096 ti = "15/20480/4096"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/15/20480/4096.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 20480 ÷ 215
    20480 ÷ 32768     		x = 0.625
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 4096 ÷ 215
    4096 ÷ 32768     		y = 0.125
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.625 × 2 - 1) × π
    0.25 × 3.1415926535     		Λ = 0.78539816
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.125 × 2 - 1) × π
    0.75 × 3.1415926535     		Φ = 2.356194490125
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.78539816} λ = 0.78539816}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(2.356194490125))-π/2
    2×atan(10.5507240734872)-π/2
    2×1.47629839473139-π/2
    2.95259678946279-1.57079632675     		φ = 1.38180046
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.78539816} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 45.000000°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.38180046 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 79.171334°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 20480 KachelY 4096 0.78539816 1.38180046 45.000000 79.171334
    Oben rechts KachelX + 1 20481 KachelY 4096 0.78558991 1.38180046 45.010986 79.171334
    Unten links KachelX 20480 KachelY + 1 4097 0.78539816 1.38176444 45.000000 79.169271
    Unten rechts KachelX + 1 20481 KachelY + 1 4097 0.78558991 1.38176444 45.010986 79.169271
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.38180046-1.38176444) × R
    3.60200000000255e-05 × 6371000     		dl = 229.483420000162m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.38180046-1.38176444) × R
    3.60200000000255e-05 × 6371000     		dr = 229.483420000162m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.78539816-0.78558991) × cos(1.38180046) × R
    0.000191750000000046 × 0.187872736870527 × 6371000     		do = 229.512709366013m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.78539816-0.78558991) × cos(1.38176444) × R
    0.000191750000000046 × 0.187908115354172 × 6371000     		du = 229.55592911024m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.38180046)-sin(1.38176444))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.187872736870527-0.187908115354172)×R²
    abs(0.78558991-0.78539816)×3.53784836452653e-05×R²
    0.000191750000000046×3.53784836452653e-05×6371000²
    0.000191750000000046×3.53784836452653e-05×40589641000000     		ar = 52674.3205921879m²