Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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15 / 20481 / 28671
↖ ↑ ↗
← S 79.169271°
E 45.010986°		 ← 229.56 m → S 79.169271°
E 45.021973°		 →
↑
229.48 m
↓
↑
229.48 m
↓
S 79.171334°
E 45.010986°		 ← 229.51 m →
52 674 m²		 S 79.171334°
E 45.021973°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 15 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 20481 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 28671 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.625045776367188 y=0.874984741210938 und der Vergrößerungsstufe zoom=15 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.625045776367188 × 215)
    floor (0.625045776367188 × 32768)
    floor (20481.5)     		tx = 20481
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.874984741210938 × 215)
    floor (0.874984741210938 × 32768)
    floor (28671.5)     		ty = 28671
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 15 / 20481 / 28671 ti = "15/20481/28671"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/15/20481/28671.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 20481 ÷ 215
    20481 ÷ 32768     		x = 0.625030517578125
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 28671 ÷ 215
    28671 ÷ 32768     		y = 0.874969482421875
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.625030517578125 × 2 - 1) × π
    0.25006103515625 × 3.1415926535     		Λ = 0.78558991
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.874969482421875 × 2 - 1) × π
    -0.74993896484375 × 3.1415926535     		Φ = -2.35600274252652
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.78558991} λ = 0.78558991}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-2.35600274252652))-π/2
    2×atan(0.0947984004715463)-π/2
    2×0.0945159458325483-π/2
    0.189031891665097-1.57079632675     		φ = -1.38176444
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.78558991} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 45.010986°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.38176444 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -79.169271°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 20481 KachelY 28671 0.78558991 -1.38176444 45.010986 -79.169271
    Oben rechts KachelX + 1 20482 KachelY 28671 0.78578166 -1.38176444 45.021973 -79.169271
    Unten links KachelX 20481 KachelY + 1 28672 0.78558991 -1.38180046 45.010986 -79.171334
    Unten rechts KachelX + 1 20482 KachelY + 1 28672 0.78578166 -1.38180046 45.021973 -79.171334
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.38176444--1.38180046) × R
    3.60200000000255e-05 × 6371000     		dl = 229.483420000162m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.38176444--1.38180046) × R
    3.60200000000255e-05 × 6371000     		dr = 229.483420000162m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.78558991-0.78578166) × cos(-1.38176444) × R
    0.000191750000000046 × 0.187908115354172 × 6371000     		do = 229.55592911024m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.78558991-0.78578166) × cos(-1.38180046) × R
    0.000191750000000046 × 0.187872736870527 × 6371000     		du = 229.512709366013m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.38176444)-sin(-1.38180046))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.187908115354172-0.187872736870527)×R²
    abs(0.78578166-0.78558991)×3.53784836452653e-05×R²
    0.000191750000000046×3.53784836452653e-05×6371000²
    0.000191750000000046×3.53784836452653e-05×40589641000000     		ar = 52674.3205921879m²