Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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15 / 20481 / 4093
↖ ↑ ↗
← N 79.177525°
E 45.010986°		 ← 229.38 m → N 79.177525°
E 45.021973°		 →
↑
229.36 m
↓
↑
229.36 m
↓
N 79.175462°
E 45.010986°		 ← 229.43 m →
52 615 m²		 N 79.175462°
E 45.021973°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 15 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 20481 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 4093 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.625045776367188 y=0.124923706054688 und der Vergrößerungsstufe zoom=15 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.625045776367188 × 215)
    floor (0.625045776367188 × 32768)
    floor (20481.5)     		tx = 20481
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.124923706054688 × 215)
    floor (0.124923706054688 × 32768)
    floor (4093.5)     		ty = 4093
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 15 / 20481 / 4093 ti = "15/20481/4093"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/15/20481/4093.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 20481 ÷ 215
    20481 ÷ 32768     		x = 0.625030517578125
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 4093 ÷ 215
    4093 ÷ 32768     		y = 0.124908447265625
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.625030517578125 × 2 - 1) × π
    0.25006103515625 × 3.1415926535     		Λ = 0.78558991
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.124908447265625 × 2 - 1) × π
    0.75018310546875 × 3.1415926535     		Φ = 2.35676973292044
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.78558991} λ = 0.78558991}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(2.35676973292044))-π/2
    2×atan(10.5567950474718)-π/2
    2×1.47635241568736-π/2
    2.95270483137472-1.57079632675     		φ = 1.38190850
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.78558991} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 45.010986°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.38190850 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 79.177525°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 20481 KachelY 4093 0.78558991 1.38190850 45.010986 79.177525
    Oben rechts KachelX + 1 20482 KachelY 4093 0.78578166 1.38190850 45.021973 79.177525
    Unten links KachelX 20481 KachelY + 1 4094 0.78558991 1.38187250 45.010986 79.175462
    Unten rechts KachelX + 1 20482 KachelY + 1 4094 0.78578166 1.38187250 45.021973 79.175462
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.38190850-1.38187250) × R
    3.5999999999925e-05 × 6371000     		dl = 229.355999999522m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.38190850-1.38187250) × R
    3.5999999999925e-05 × 6371000     		dr = 229.355999999522m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.78558991-0.78578166) × cos(1.38190850) × R
    0.000191750000000046 × 0.187766619601526 × 6371000     		do = 229.383072345099m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.78558991-0.78578166) × cos(1.38187250) × R
    0.000191750000000046 × 0.187801979172021 × 6371000     		du = 229.426268984279m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.38190850)-sin(1.38187250))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.187766619601526-0.187801979172021)×R²
    abs(0.78578166-0.78558991)×3.53595704950249e-05×R²
    0.000191750000000046×3.53595704950249e-05×6371000²
    0.000191750000000046×3.53595704950249e-05×40589641000000     		ar = 52615.3376505093m²