Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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15 / 20481 / 4099
↖ ↑ ↗
← N 79.165141°
E 45.010986°		 ← 229.64 m → N 79.165141°
E 45.021973°		 →
↑
229.67 m
↓
↑
229.67 m
↓
N 79.163075°
E 45.010986°		 ← 229.69 m →
52 748 m²		 N 79.163075°
E 45.021973°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 15 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 20481 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 4099 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.625045776367188 y=0.125106811523438 und der Vergrößerungsstufe zoom=15 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.625045776367188 × 215)
    floor (0.625045776367188 × 32768)
    floor (20481.5)     		tx = 20481
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.125106811523438 × 215)
    floor (0.125106811523438 × 32768)
    floor (4099.5)     		ty = 4099
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 15 / 20481 / 4099 ti = "15/20481/4099"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/15/20481/4099.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 20481 ÷ 215
    20481 ÷ 32768     		x = 0.625030517578125
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 4099 ÷ 215
    4099 ÷ 32768     		y = 0.125091552734375
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.625030517578125 × 2 - 1) × π
    0.25006103515625 × 3.1415926535     		Λ = 0.78558991
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.125091552734375 × 2 - 1) × π
    0.74981689453125 × 3.1415926535     		Φ = 2.35561924732956
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.78558991} λ = 0.78558991}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(2.35561924732956))-π/2
    2×atan(10.5446565907824)-π/2
    2×1.47624434324498-π/2
    2.95248868648996-1.57079632675     		φ = 1.38169236
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.78558991} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 45.010986°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.38169236 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 79.165141°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 20481 KachelY 4099 0.78558991 1.38169236 45.010986 79.165141
    Oben rechts KachelX + 1 20482 KachelY 4099 0.78578166 1.38169236 45.021973 79.165141
    Unten links KachelX 20481 KachelY + 1 4100 0.78558991 1.38165631 45.010986 79.163075
    Unten rechts KachelX + 1 20482 KachelY + 1 4100 0.78578166 1.38165631 45.021973 79.163075
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.38169236-1.38165631) × R
    3.60499999998432e-05 × 6371000     		dl = 229.674549999001m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.38169236-1.38165631) × R
    3.60499999998432e-05 × 6371000     		dr = 229.674549999001m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.78558991-0.78578166) × cos(1.38169236) × R
    0.000191750000000046 × 0.187978910876941 × 6371000     		do = 229.642415699578m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.78558991-0.78578166) × cos(1.38165631) × R
    0.000191750000000046 × 0.188014318093767 × 6371000     		du = 229.685670545387m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.38169236)-sin(1.38165631))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.187978910876941-0.188014318093767)×R²
    abs(0.78578166-0.78558991)×3.54072168264608e-05×R²
    0.000191750000000046×3.54072168264608e-05×6371000²
    0.000191750000000046×3.54072168264608e-05×40589641000000     		ar = 52747.9857612112m²