Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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15 / 20482 / 28678
↖ ↑ ↗
← S 79.183712°
E 45.021973°		 ← 229.25 m → S 79.183712°
E 45.032959°		 →
↑
229.23 m
↓
↑
229.23 m
↓
S 79.185774°
E 45.021973°		 ← 229.21 m →
52 547 m²		 S 79.185774°
E 45.032959°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 15 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 20482 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 28678 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.625076293945312 y=0.875198364257812 und der Vergrößerungsstufe zoom=15 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.625076293945312 × 215)
    floor (0.625076293945312 × 32768)
    floor (20482.5)     		tx = 20482
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.875198364257812 × 215)
    floor (0.875198364257812 × 32768)
    floor (28678.5)     		ty = 28678
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 15 / 20482 / 28678 ti = "15/20482/28678"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/15/20482/28678.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 20482 ÷ 215
    20482 ÷ 32768     		x = 0.62506103515625
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 28678 ÷ 215
    28678 ÷ 32768     		y = 0.87518310546875
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.62506103515625 × 2 - 1) × π
    0.2501220703125 × 3.1415926535     		Λ = 0.78578166
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.87518310546875 × 2 - 1) × π
    -0.7503662109375 × 3.1415926535     		Φ = -2.35734497571588
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.78578166} λ = 0.78578166}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-2.35734497571588))-π/2
    2×atan(0.0946712442678637)-π/2
    2×0.0943899206654044-π/2
    0.188779841330809-1.57079632675     		φ = -1.38201649
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.78578166} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 45.021973°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.38201649 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -79.183712°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 20482 KachelY 28678 0.78578166 -1.38201649 45.021973 -79.183712
    Oben rechts KachelX + 1 20483 KachelY 28678 0.78597341 -1.38201649 45.032959 -79.183712
    Unten links KachelX 20482 KachelY + 1 28679 0.78578166 -1.38205247 45.021973 -79.185774
    Unten rechts KachelX + 1 20483 KachelY + 1 28679 0.78597341 -1.38205247 45.032959 -79.185774
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.38201649--1.38205247) × R
    3.59800000000465e-05 × 6371000     		dl = 229.228580000296m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.38201649--1.38205247) × R
    3.59800000000465e-05 × 6371000     		dr = 229.228580000296m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.78578166-0.78597341) × cos(-1.38201649) × R
    0.000191749999999935 × 0.187660549252491 × 6371000     		do = 229.253492643323m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.78578166-0.78597341) × cos(-1.38205247) × R
    0.000191749999999935 × 0.18762520835377 × 6371000     		du = 229.210318814315m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.38201649)-sin(-1.38205247))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.187660549252491-0.18762520835377)×R²
    abs(0.78597341-0.78578166)×3.53408987208703e-05×R²
    0.000191749999999935×3.53408987208703e-05×6371000²
    0.000191749999999935×3.53408987208703e-05×40589641000000     		ar = 52546.5042468681m²