Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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15 / 20484 / 12284
↖ ↑ ↗
← N 41.013066°
E 45.043945°		 ← 921.80 m → N 41.013066°
E 45.054932°		 →
↑
921.82 m
↓
↑
921.82 m
↓
N 41.004775°
E 45.043945°		 ← 921.92 m →
849 787 m²		 N 41.004775°
E 45.054932°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 15 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 20484 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 12284 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.625137329101562 y=0.374893188476562 und der Vergrößerungsstufe zoom=15 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.625137329101562 × 215)
    floor (0.625137329101562 × 32768)
    floor (20484.5)     		tx = 20484
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.374893188476562 × 215)
    floor (0.374893188476562 × 32768)
    floor (12284.5)     		ty = 12284
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 15 / 20484 / 12284 ti = "15/20484/12284"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/15/20484/12284.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 20484 ÷ 215
    20484 ÷ 32768     		x = 0.6251220703125
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 12284 ÷ 215
    12284 ÷ 32768     		y = 0.3748779296875
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.6251220703125 × 2 - 1) × π
    0.250244140625 × 3.1415926535     		Λ = 0.78616515
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.3748779296875 × 2 - 1) × π
    0.250244140625 × 3.1415926535     		Φ = 0.786165153768921
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.78616515} λ = 0.78616515}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(0.786165153768921))-π/2
    2×atan(2.19496292070891)-π/2
    2×1.14330468054912-π/2
    2.28660936109824-1.57079632675     		φ = 0.71581303
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.78616515} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 45.043945°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.71581303 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 41.013066°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 20484 KachelY 12284 0.78616515 0.71581303 45.043945 41.013066
    Oben rechts KachelX + 1 20485 KachelY 12284 0.78635690 0.71581303 45.054932 41.013066
    Unten links KachelX 20484 KachelY + 1 12285 0.78616515 0.71566834 45.043945 41.004775
    Unten rechts KachelX + 1 20485 KachelY + 1 12285 0.78635690 0.71566834 45.054932 41.004775
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.71581303-0.71566834) × R
    0.000144689999999947 × 6371000     		dl = 921.819989999665m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.71581303-0.71566834) × R
    0.000144689999999947 × 6371000     		dr = 921.819989999665m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.78616515-0.78635690) × cos(0.71581303) × R
    0.000191750000000046 × 0.754559955076964 × 6371000     		do = 921.800057600478m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.78616515-0.78635690) × cos(0.71566834) × R
    0.000191750000000046 × 0.754654897258001 × 6371000     		du = 921.916042695312m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.71581303)-sin(0.71566834))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.754559955076964-0.754654897258001)×R²
    abs(0.78635690-0.78616515)×9.49421810361173e-05×R²
    0.000191750000000046×9.49421810361173e-05×6371000²
    0.000191750000000046×9.49421810361173e-05×40589641000000     		ar = 849787.180050473m²