Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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15 / 20486 / 20486
↖ ↑ ↗
← S 41.029644°
E 45.065918°		 ← 921.57 m → S 41.029644°
E 45.076904°		 →
↑
921.50 m
↓
↑
921.50 m
↓
S 41.037931°
E 45.065918°		 ← 921.45 m →
849 173 m²		 S 41.037931°
E 45.076904°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 15 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 20486 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 20486 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.625198364257812 y=0.625198364257812 und der Vergrößerungsstufe zoom=15 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.625198364257812 × 215)
    floor (0.625198364257812 × 32768)
    floor (20486.5)     		tx = 20486
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.625198364257812 × 215)
    floor (0.625198364257812 × 32768)
    floor (20486.5)     		ty = 20486
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 15 / 20486 / 20486 ti = "15/20486/20486"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/15/20486/20486.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 20486 ÷ 215
    20486 ÷ 32768     		x = 0.62518310546875
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 20486 ÷ 215
    20486 ÷ 32768     		y = 0.62518310546875
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.62518310546875 × 2 - 1) × π
    0.2503662109375 × 3.1415926535     		Λ = 0.78654865
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.62518310546875 × 2 - 1) × π
    -0.2503662109375 × 3.1415926535     		Φ = -0.786548648965881
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.78654865} λ = 0.78654865}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.786548648965881))-π/2
    2×atan(0.455413879157957)-π/2
    2×0.427346979393342-π/2
    0.854693958786684-1.57079632675     		φ = -0.71610237
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.78654865} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 45.065918°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.71610237 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -41.029644°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 20486 KachelY 20486 0.78654865 -0.71610237 45.065918 -41.029644
    Oben rechts KachelX + 1 20487 KachelY 20486 0.78674040 -0.71610237 45.076904 -41.029644
    Unten links KachelX 20486 KachelY + 1 20487 0.78654865 -0.71624701 45.065918 -41.037931
    Unten rechts KachelX + 1 20487 KachelY + 1 20487 0.78674040 -0.71624701 45.076904 -41.037931
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.71610237--0.71624701) × R
    0.000144640000000029 × 6371000     		dl = 921.501440000186m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.71610237--0.71624701) × R
    0.000144640000000029 × 6371000     		dr = 921.501440000186m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.78654865-0.78674040) × cos(-0.71610237) × R
    0.000191750000000046 × 0.754370049584275 × 6371000     		do = 921.568061596818m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.78654865-0.78674040) × cos(-0.71624701) × R
    0.000191750000000046 × 0.754275092850914 × 6371000     		du = 921.452058724292m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.71610237)-sin(-0.71624701))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.754370049584275-0.754275092850914)×R²
    abs(0.78674040-0.78654865)×9.4956733361462e-05×R²
    0.000191750000000046×9.4956733361462e-05×6371000²
    0.000191750000000046×9.4956733361462e-05×40589641000000     		ar = 849172.848893653m²