Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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15 / 20487 / 4105
↖ ↑ ↗
← N 79.152743°
E 45.076904°		 ← 229.89 m → N 79.152743°
E 45.087890°		 →
↑
229.93 m
↓
↑
229.93 m
↓
N 79.150675°
E 45.076904°		 ← 229.93 m →
52 863 m²		 N 79.150675°
E 45.087890°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 15 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 20487 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 4105 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.625228881835938 y=0.125289916992188 und der Vergrößerungsstufe zoom=15 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.625228881835938 × 215)
    floor (0.625228881835938 × 32768)
    floor (20487.5)     		tx = 20487
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.125289916992188 × 215)
    floor (0.125289916992188 × 32768)
    floor (4105.5)     		ty = 4105
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 15 / 20487 / 4105 ti = "15/20487/4105"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/15/20487/4105.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 20487 ÷ 215
    20487 ÷ 32768     		x = 0.625213623046875
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 4105 ÷ 215
    4105 ÷ 32768     		y = 0.125274658203125
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.625213623046875 × 2 - 1) × π
    0.25042724609375 × 3.1415926535     		Λ = 0.78674040
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.125274658203125 × 2 - 1) × π
    0.74945068359375 × 3.1415926535     		Φ = 2.35446876173868
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.78674040} λ = 0.78674040}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(2.35446876173868))-π/2
    2×atan(10.5325320911823)-π/2
    2×1.47613614861432-π/2
    2.95227229722865-1.57079632675     		φ = 1.38147597
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.78674040} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 45.076904°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.38147597 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 79.152743°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 20487 KachelY 4105 0.78674040 1.38147597 45.076904 79.152743
    Oben rechts KachelX + 1 20488 KachelY 4105 0.78693214 1.38147597 45.087890 79.152743
    Unten links KachelX 20487 KachelY + 1 4106 0.78674040 1.38143988 45.076904 79.150675
    Unten rechts KachelX + 1 20488 KachelY + 1 4106 0.78693214 1.38143988 45.087890 79.150675
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.38147597-1.38143988) × R
    3.60900000000441e-05 × 6371000     		dl = 229.929390000281m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.38147597-1.38143988) × R
    3.60900000000441e-05 × 6371000     		dr = 229.929390000281m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.78674040-0.78693214) × cos(1.38147597) × R
    0.000191739999999996 × 0.188191438903736 × 6371000     		do = 229.890058602203m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.78674040-0.78693214) × cos(1.38143988) × R
    0.000191739999999996 × 0.188226883938221 × 6371000     		du = 229.933357389345m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.38147597)-sin(1.38143988))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.188191438903736-0.188226883938221)×R²
    abs(0.78693214-0.78674040)×3.54450344856039e-05×R²
    0.000191739999999996×3.54450344856039e-05×6371000²
    0.000191739999999996×3.54450344856039e-05×40589641000000     		ar = 52863.4587792223m²