Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 20488 / 53256
↖ ↑ ↗
← N 31.933517°
W123.728027°		 ← 259.15 m → N 31.933517°
W123.725281°		 →
↑
259.17 m
↓
↑
259.17 m
↓
N 31.931186°
W123.728027°		 ← 259.16 m →
67 165 m²		 N 31.931186°
W123.725281°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 20488 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 53256 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.156314849853516 y=0.406314849853516 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.156314849853516 × 217)
    floor (0.156314849853516 × 131072)
    floor (20488.5)     		tx = 20488
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.406314849853516 × 217)
    floor (0.406314849853516 × 131072)
    floor (53256.5)     		ty = 53256
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 20488 / 53256 ti = "17/20488/53256"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/20488/53256.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 20488 ÷ 217
    20488 ÷ 131072     		x = 0.15631103515625
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 53256 ÷ 217
    53256 ÷ 131072     		y = 0.40631103515625
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.15631103515625 × 2 - 1) × π
    -0.6873779296875 × 3.1415926535     		Λ = -2.15946145
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.40631103515625 × 2 - 1) × π
    0.1873779296875 × 3.1415926535     		Φ = 0.58866512733429
    Länge (λ) Λ (unverändert) -2.15946145} λ = -2.15946145}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(0.58866512733429))-π/2
    2×atan(1.80158192710794)-π/2
    2×1.06407066800832-π/2
    2.12814133601663-1.57079632675     		φ = 0.55734501
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -2.15946145} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -123.728027°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.55734501 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 31.933517°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 20488 KachelY 53256 -2.15946145 0.55734501 -123.728027 31.933517
    Oben rechts KachelX + 1 20489 KachelY 53256 -2.15941352 0.55734501 -123.725281 31.933517
    Unten links KachelX 20488 KachelY + 1 53257 -2.15946145 0.55730433 -123.728027 31.931186
    Unten rechts KachelX + 1 20489 KachelY + 1 53257 -2.15941352 0.55730433 -123.725281 31.931186
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.55734501-0.55730433) × R
    4.06800000000151e-05 × 6371000     		dl = 259.172280000097m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.55734501-0.55730433) × R
    4.06800000000151e-05 × 6371000     		dr = 259.172280000097m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-2.15946145--2.15941352) × cos(0.55734501) × R
    4.79299999995852e-05 × 0.8486624172632 × 6371000     		do = 259.149278517955m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-2.15946145--2.15941352) × cos(0.55730433) × R
    4.79299999995852e-05 × 0.848683933631681 × 6371000     		du = 259.155848799913m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.55734501)-sin(0.55730433))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.8486624172632-0.848683933631681)×R²
    abs(-2.15941352--2.15946145)×2.15163684813557e-05×R²
    4.79299999995852e-05×2.15163684813557e-05×6371000²
    4.79299999995852e-05×2.15163684813557e-05×40589641000000     		ar = 67165.1608006462m²