Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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15 / 20489 / 12295
↖ ↑ ↗
← N 40.921815°
E 45.098877°		 ← 923.08 m → N 40.921815°
E 45.109863°		 →
↑
923.16 m
↓
↑
923.16 m
↓
N 40.913512°
E 45.098877°		 ← 923.19 m →
852 198 m²		 N 40.913512°
E 45.109863°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 15 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 20489 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 12295 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.625289916992188 y=0.375228881835938 und der Vergrößerungsstufe zoom=15 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.625289916992188 × 215)
    floor (0.625289916992188 × 32768)
    floor (20489.5)     		tx = 20489
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.375228881835938 × 215)
    floor (0.375228881835938 × 32768)
    floor (12295.5)     		ty = 12295
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 15 / 20489 / 12295 ti = "15/20489/12295"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/15/20489/12295.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 20489 ÷ 215
    20489 ÷ 32768     		x = 0.625274658203125
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 12295 ÷ 215
    12295 ÷ 32768     		y = 0.375213623046875
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.625274658203125 × 2 - 1) × π
    0.25054931640625 × 3.1415926535     		Λ = 0.78712389
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.375213623046875 × 2 - 1) × π
    0.24957275390625 × 3.1415926535     		Φ = 0.784055930185638
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.78712389} λ = 0.78712389}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(0.784055930185638))-π/2
    2×atan(2.19033813222316)-π/2
    2×1.14250836208202-π/2
    2.28501672416404-1.57079632675     		φ = 0.71422040
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.78712389} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 45.098877°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.71422040 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 40.921815°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 20489 KachelY 12295 0.78712389 0.71422040 45.098877 40.921815
    Oben rechts KachelX + 1 20490 KachelY 12295 0.78731564 0.71422040 45.109863 40.921815
    Unten links KachelX 20489 KachelY + 1 12296 0.78712389 0.71407550 45.098877 40.913512
    Unten rechts KachelX + 1 20490 KachelY + 1 12296 0.78731564 0.71407550 45.109863 40.913512
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.71422040-0.71407550) × R
    0.000144900000000003 × 6371000     		dl = 923.157900000021m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.71422040-0.71407550) × R
    0.000144900000000003 × 6371000     		dr = 923.157900000021m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.78712389-0.78731564) × cos(0.71422040) × R
    0.000191749999999935 × 0.755604131034012 × 6371000     		do = 923.075663932979m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.78712389-0.78731564) × cos(0.71407550) × R
    0.000191749999999935 × 0.75569903673778 × 6371000     		du = 923.191604465751m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.71422040)-sin(0.71407550))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.755604131034012-0.75569903673778)×R²
    abs(0.78731564-0.78712389)×9.49057037678003e-05×R²
    0.000191749999999935×9.49057037678003e-05×6371000²
    0.000191749999999935×9.49057037678003e-05×40589641000000     		ar = 852198.108657669m²