Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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15 / 20490 / 4090
↖ ↑ ↗
← N 79.183712°
E 45.109863°		 ← 229.25 m → N 79.183712°
E 45.120850°		 →
↑
229.29 m
↓
↑
229.29 m
↓
N 79.181650°
E 45.109863°		 ← 229.30 m →
52 571 m²		 N 79.181650°
E 45.120850°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 15 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 20490 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 4090 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.625320434570312 y=0.124832153320312 und der Vergrößerungsstufe zoom=15 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.625320434570312 × 215)
    floor (0.625320434570312 × 32768)
    floor (20490.5)     		tx = 20490
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.124832153320312 × 215)
    floor (0.124832153320312 × 32768)
    floor (4090.5)     		ty = 4090
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 15 / 20490 / 4090 ti = "15/20490/4090"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/15/20490/4090.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 20490 ÷ 215
    20490 ÷ 32768     		x = 0.62530517578125
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 4090 ÷ 215
    4090 ÷ 32768     		y = 0.12481689453125
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.62530517578125 × 2 - 1) × π
    0.2506103515625 × 3.1415926535     		Λ = 0.78731564
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.12481689453125 × 2 - 1) × π
    0.7503662109375 × 3.1415926535     		Φ = 2.35734497571588
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.78731564} λ = 0.78731564}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(2.35734497571588))-π/2
    2×atan(10.5628695147451)-π/2
    2×1.47640640612949-π/2
    2.95281281225898-1.57079632675     		φ = 1.38201649
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.78731564} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 45.109863°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.38201649 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 79.183712°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 20490 KachelY 4090 0.78731564 1.38201649 45.109863 79.183712
    Oben rechts KachelX + 1 20491 KachelY 4090 0.78750739 1.38201649 45.120850 79.183712
    Unten links KachelX 20490 KachelY + 1 4091 0.78731564 1.38198050 45.109863 79.181650
    Unten rechts KachelX + 1 20491 KachelY + 1 4091 0.78750739 1.38198050 45.120850 79.181650
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.38201649-1.38198050) × R
    3.59899999999858e-05 × 6371000     		dl = 229.292289999909m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.38201649-1.38198050) × R
    3.59899999999858e-05 × 6371000     		dr = 229.292289999909m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.78731564-0.78750739) × cos(1.38201649) × R
    0.000191750000000046 × 0.187660549252491 × 6371000     		do = 229.253492643456m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.78731564-0.78750739) × cos(1.38198050) × R
    0.000191750000000046 × 0.187695899730545 × 6371000     		du = 229.296678174954m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.38201649)-sin(1.38198050))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.187660549252491-0.187695899730545)×R²
    abs(0.78750739-0.78731564)×3.53504780547798e-05×R²
    0.000191750000000046×3.53504780547798e-05×6371000²
    0.000191750000000046×3.53504780547798e-05×40589641000000     		ar = 52571.009378501m²