Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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15 / 20495 / 28689
↖ ↑ ↗
← S 79.206367°
E 45.164795°		 ← 228.77 m → S 79.206367°
E 45.175781°		 →
↑
228.78 m
↓
↑
228.78 m
↓
S 79.208424°
E 45.164795°		 ← 228.72 m →
52 333 m²		 S 79.208424°
E 45.175781°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 15 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 20495 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 28689 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.625473022460938 y=0.875534057617188 und der Vergrößerungsstufe zoom=15 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.625473022460938 × 215)
    floor (0.625473022460938 × 32768)
    floor (20495.5)     		tx = 20495
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.875534057617188 × 215)
    floor (0.875534057617188 × 32768)
    floor (28689.5)     		ty = 28689
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 15 / 20495 / 28689 ti = "15/20495/28689"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/15/20495/28689.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 20495 ÷ 215
    20495 ÷ 32768     		x = 0.625457763671875
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 28689 ÷ 215
    28689 ÷ 32768     		y = 0.875518798828125
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.625457763671875 × 2 - 1) × π
    0.25091552734375 × 3.1415926535     		Λ = 0.78827438
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.875518798828125 × 2 - 1) × π
    -0.75103759765625 × 3.1415926535     		Φ = -2.35945419929916
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.78827438} λ = 0.78827438}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-2.35945419929916))-π/2
    2×atan(0.094471771886672)-π/2
    2×0.0941922165054078-π/2
    0.188384433010816-1.57079632675     		φ = -1.38241189
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.78827438} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 45.164795°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.38241189 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -79.206367°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 20495 KachelY 28689 0.78827438 -1.38241189 45.164795 -79.206367
    Oben rechts KachelX + 1 20496 KachelY 28689 0.78846612 -1.38241189 45.175781 -79.206367
    Unten links KachelX 20495 KachelY + 1 28690 0.78827438 -1.38244780 45.164795 -79.208424
    Unten rechts KachelX + 1 20496 KachelY + 1 28690 0.78846612 -1.38244780 45.175781 -79.208424
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.38241189--1.38244780) × R
    3.59100000000279e-05 × 6371000     		dl = 228.782610000178m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.38241189--1.38244780) × R
    3.59100000000279e-05 × 6371000     		dr = 228.782610000178m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.78827438-0.78846612) × cos(-1.38241189) × R
    0.000191739999999996 × 0.187272159292121 × 6371000     		do = 228.767089114233m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.78827438-0.78846612) × cos(-1.38244780) × R
    0.000191739999999996 × 0.187236884488698 × 6371000     		du = 228.723998277194m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.38241189)-sin(-1.38244780))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.187272159292121-0.187236884488698)×R²
    abs(0.78846612-0.78827438)×3.52748034222472e-05×R²
    0.000191739999999996×3.52748034222472e-05×6371000²
    0.000191739999999996×3.52748034222472e-05×40589641000000     		ar = 52333.0025181452m²