Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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15 / 20496 / 12304
↖ ↑ ↗
← N 40.847060°
E 45.175781°		 ← 924.12 m → N 40.847060°
E 45.186767°		 →
↑
924.18 m
↓
↑
924.18 m
↓
N 40.838749°
E 45.175781°		 ← 924.23 m →
854 103 m²		 N 40.838749°
E 45.186767°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 15 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 20496 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 12304 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.625503540039062 y=0.375503540039062 und der Vergrößerungsstufe zoom=15 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.625503540039062 × 215)
    floor (0.625503540039062 × 32768)
    floor (20496.5)     		tx = 20496
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.375503540039062 × 215)
    floor (0.375503540039062 × 32768)
    floor (12304.5)     		ty = 12304
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 15 / 20496 / 12304 ti = "15/20496/12304"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/15/20496/12304.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 20496 ÷ 215
    20496 ÷ 32768     		x = 0.62548828125
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 12304 ÷ 215
    12304 ÷ 32768     		y = 0.37548828125
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.62548828125 × 2 - 1) × π
    0.2509765625 × 3.1415926535     		Λ = 0.78846612
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.37548828125 × 2 - 1) × π
    0.2490234375 × 3.1415926535     		Φ = 0.782330201799316
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.78846612} λ = 0.78846612}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(0.782330201799316))-π/2
    2×atan(2.18656146322248)-π/2
    2×1.14185600987614-π/2
    2.28371201975227-1.57079632675     		φ = 0.71291569
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.78846612} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 45.175781°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.71291569 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 40.847060°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 20496 KachelY 12304 0.78846612 0.71291569 45.175781 40.847060
    Oben rechts KachelX + 1 20497 KachelY 12304 0.78865787 0.71291569 45.186767 40.847060
    Unten links KachelX 20496 KachelY + 1 12305 0.78846612 0.71277063 45.175781 40.838749
    Unten rechts KachelX + 1 20497 KachelY + 1 12305 0.78865787 0.71277063 45.186767 40.838749
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.71291569-0.71277063) × R
    0.00014506000000003 × 6371000     		dl = 924.177260000192m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.71291569-0.71277063) × R
    0.00014506000000003 × 6371000     		dr = 924.177260000192m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.78846612-0.78865787) × cos(0.71291569) × R
    0.000191749999999935 × 0.756458109966538 × 6371000     		do = 924.118918115625m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.78846612-0.78865787) × cos(0.71277063) × R
    0.000191749999999935 × 0.756552977360958 × 6371000     		du = 924.234811848194m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.71291569)-sin(0.71277063))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.756458109966538-0.756552977360958)×R²
    abs(0.78865787-0.78846612)×9.48673944202172e-05×R²
    0.000191749999999935×9.48673944202172e-05×6371000²
    0.000191749999999935×9.48673944202172e-05×40589641000000     		ar = 854103.244331847m²