Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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15 / 20496 / 4081
↖ ↑ ↗
← N 79.202251°
E 45.175781°		 ← 228.87 m → N 79.202251°
E 45.186767°		 →
↑
228.85 m
↓
↑
228.85 m
↓
N 79.200193°
E 45.175781°		 ← 228.91 m →
52 380 m²		 N 79.200193°
E 45.186767°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 15 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 20496 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 4081 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.625503540039062 y=0.124557495117188 und der Vergrößerungsstufe zoom=15 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.625503540039062 × 215)
    floor (0.625503540039062 × 32768)
    floor (20496.5)     		tx = 20496
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.124557495117188 × 215)
    floor (0.124557495117188 × 32768)
    floor (4081.5)     		ty = 4081
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 15 / 20496 / 4081 ti = "15/20496/4081"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/15/20496/4081.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 20496 ÷ 215
    20496 ÷ 32768     		x = 0.62548828125
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 4081 ÷ 215
    4081 ÷ 32768     		y = 0.124542236328125
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.62548828125 × 2 - 1) × π
    0.2509765625 × 3.1415926535     		Λ = 0.78846612
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.124542236328125 × 2 - 1) × π
    0.75091552734375 × 3.1415926535     		Φ = 2.3590707041022
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.78846612} λ = 0.78846612}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(2.3590707041022))-π/2
    2×atan(10.5811138964035)-π/2
    2×1.47656819453893-π/2
    2.95313638907786-1.57079632675     		φ = 1.38234006
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.78846612} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 45.175781°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.38234006 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 79.202251°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 20496 KachelY 4081 0.78846612 1.38234006 45.175781 79.202251
    Oben rechts KachelX + 1 20497 KachelY 4081 0.78865787 1.38234006 45.186767 79.202251
    Unten links KachelX 20496 KachelY + 1 4082 0.78846612 1.38230414 45.175781 79.200193
    Unten rechts KachelX + 1 20497 KachelY + 1 4082 0.78865787 1.38230414 45.186767 79.200193
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.38234006-1.38230414) × R
    3.59199999999671e-05 × 6371000     		dl = 228.84631999979m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.38234006-1.38230414) × R
    3.59199999999671e-05 × 6371000     		dr = 228.84631999979m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.78846612-0.78865787) × cos(1.38234006) × R
    0.000191749999999935 × 0.187342717997388 × 6371000     		do = 228.865217507212m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.78846612-0.78865787) × cos(1.38230414) × R
    0.000191749999999935 × 0.187378001899007 × 6371000     		du = 228.908321706324m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.38234006)-sin(1.38230414))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.187342717997388-0.187378001899007)×R²
    abs(0.78865787-0.78846612)×3.52839016191375e-05×R²
    0.000191749999999935×3.52839016191375e-05×6371000²
    0.000191749999999935×3.52839016191375e-05×40589641000000     		ar = 52379.8949262058m²