Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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15 / 20496 / 4143
↖ ↑ ↗
← N 79.073894°
E 45.175781°		 ← 231.55 m → N 79.073894°
E 45.186767°		 →
↑
231.52 m
↓
↑
231.52 m
↓
N 79.071812°
E 45.175781°		 ← 231.60 m →
53 615 m²		 N 79.071812°
E 45.186767°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 15 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 20496 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 4143 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.625503540039062 y=0.126449584960938 und der Vergrößerungsstufe zoom=15 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.625503540039062 × 215)
    floor (0.625503540039062 × 32768)
    floor (20496.5)     		tx = 20496
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.126449584960938 × 215)
    floor (0.126449584960938 × 32768)
    floor (4143.5)     		ty = 4143
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 15 / 20496 / 4143 ti = "15/20496/4143"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/15/20496/4143.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 20496 ÷ 215
    20496 ÷ 32768     		x = 0.62548828125
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 4143 ÷ 215
    4143 ÷ 32768     		y = 0.126434326171875
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.62548828125 × 2 - 1) × π
    0.2509765625 × 3.1415926535     		Λ = 0.78846612
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.126434326171875 × 2 - 1) × π
    0.74713134765625 × 3.1415926535     		Φ = 2.34718235299643
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.78846612} λ = 0.78846612}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(2.34718235299643))-π/2
    2×atan(10.4560666747212)-π/2
    2×1.47544806987485-π/2
    2.9508961397497-1.57079632675     		φ = 1.38009981
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.78846612} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 45.175781°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.38009981 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 79.073894°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 20496 KachelY 4143 0.78846612 1.38009981 45.175781 79.073894
    Oben rechts KachelX + 1 20497 KachelY 4143 0.78865787 1.38009981 45.186767 79.073894
    Unten links KachelX 20496 KachelY + 1 4144 0.78846612 1.38006347 45.175781 79.071812
    Unten rechts KachelX + 1 20497 KachelY + 1 4144 0.78865787 1.38006347 45.186767 79.071812
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.38009981-1.38006347) × R
    3.6339999999857e-05 × 6371000     		dl = 231.522139999089m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.38009981-1.38006347) × R
    3.6339999999857e-05 × 6371000     		dr = 231.522139999089m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.78846612-0.78865787) × cos(1.38009981) × R
    0.000191749999999935 × 0.189542831552526 × 6371000     		do = 231.552962580626m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.78846612-0.78865787) × cos(1.38006347) × R
    0.000191749999999935 × 0.189578512672325 × 6371000     		du = 231.596552037056m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.38009981)-sin(1.38006347))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.189542831552526-0.189578512672325)×R²
    abs(0.78865787-0.78846612)×3.56811197986806e-05×R²
    0.000191749999999935×3.56811197986806e-05×6371000²
    0.000191749999999935×3.56811197986806e-05×40589641000000     		ar = 53614.6833872998m²