Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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15 / 20497 / 4111
↖ ↑ ↗
← N 79.140331°
E 45.186767°		 ← 230.16 m → N 79.140331°
E 45.197754°		 →
↑
230.18 m
↓
↑
230.18 m
↓
N 79.138261°
E 45.186767°		 ← 230.21 m →
52 985 m²		 N 79.138261°
E 45.197754°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 15 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 20497 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 4111 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.625534057617188 y=0.125473022460938 und der Vergrößerungsstufe zoom=15 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.625534057617188 × 215)
    floor (0.625534057617188 × 32768)
    floor (20497.5)     		tx = 20497
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.125473022460938 × 215)
    floor (0.125473022460938 × 32768)
    floor (4111.5)     		ty = 4111
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 15 / 20497 / 4111 ti = "15/20497/4111"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/15/20497/4111.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 20497 ÷ 215
    20497 ÷ 32768     		x = 0.625518798828125
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 4111 ÷ 215
    4111 ÷ 32768     		y = 0.125457763671875
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.625518798828125 × 2 - 1) × π
    0.25103759765625 × 3.1415926535     		Λ = 0.78865787
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.125457763671875 × 2 - 1) × π
    0.74908447265625 × 3.1415926535     		Φ = 2.3533182761478
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.78865787} λ = 0.78865787}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(2.3533182761478))-π/2
    2×atan(10.5204215326233)-π/2
    2×1.47602783166231-π/2
    2.95205566332461-1.57079632675     		φ = 1.38125934
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.78865787} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 45.186767°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.38125934 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 79.140331°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 20497 KachelY 4111 0.78865787 1.38125934 45.186767 79.140331
    Oben rechts KachelX + 1 20498 KachelY 4111 0.78884962 1.38125934 45.197754 79.140331
    Unten links KachelX 20497 KachelY + 1 4112 0.78865787 1.38122321 45.186767 79.138261
    Unten rechts KachelX + 1 20498 KachelY + 1 4112 0.78884962 1.38122321 45.197754 79.138261
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.38125934-1.38122321) × R
    3.61300000000231e-05 × 6371000     		dl = 230.184230000147m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.38125934-1.38122321) × R
    3.61300000000231e-05 × 6371000     		dr = 230.184230000147m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.78865787-0.78884962) × cos(1.38125934) × R
    0.000191750000000046 × 0.188404193820519 × 6371000     		do = 230.161958035809m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.78865787-0.78884962) × cos(1.38122321) × R
    0.000191750000000046 × 0.188439676666111 × 6371000     		du = 230.205305272686m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.38125934)-sin(1.38122321))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.188404193820519-0.188439676666111)×R²
    abs(0.78884962-0.78865787)×3.54828455922107e-05×R²
    0.000191750000000046×3.54828455922107e-05×6371000²
    0.000191750000000046×3.54828455922107e-05×40589641000000     		ar = 52984.6420168754m²