Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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15 / 20498 / 4114
↖ ↑ ↗
← N 79.134119°
E 45.197754°		 ← 230.29 m → N 79.134119°
E 45.208740°		 →
↑
230.31 m
↓
↑
230.31 m
↓
N 79.132048°
E 45.197754°		 ← 230.34 m →
53 044 m²		 N 79.132048°
E 45.208740°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 15 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 20498 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 4114 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.625564575195312 y=0.125564575195312 und der Vergrößerungsstufe zoom=15 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.625564575195312 × 215)
    floor (0.625564575195312 × 32768)
    floor (20498.5)     		tx = 20498
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.125564575195312 × 215)
    floor (0.125564575195312 × 32768)
    floor (4114.5)     		ty = 4114
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 15 / 20498 / 4114 ti = "15/20498/4114"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/15/20498/4114.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 20498 ÷ 215
    20498 ÷ 32768     		x = 0.62554931640625
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 4114 ÷ 215
    4114 ÷ 32768     		y = 0.12554931640625
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.62554931640625 × 2 - 1) × π
    0.2510986328125 × 3.1415926535     		Λ = 0.78884962
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.12554931640625 × 2 - 1) × π
    0.7489013671875 × 3.1415926535     		Φ = 2.35274303335236
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.78884962} λ = 0.78884962}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(2.35274303335236))-π/2
    2×atan(10.5143714762242)-π/2
    2×1.47597362727417-π/2
    2.95194725454833-1.57079632675     		φ = 1.38115093
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.78884962} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 45.197754°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.38115093 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 79.134119°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 20498 KachelY 4114 0.78884962 1.38115093 45.197754 79.134119
    Oben rechts KachelX + 1 20499 KachelY 4114 0.78904137 1.38115093 45.208740 79.134119
    Unten links KachelX 20498 KachelY + 1 4115 0.78884962 1.38111478 45.197754 79.132048
    Unten rechts KachelX + 1 20499 KachelY + 1 4115 0.78904137 1.38111478 45.208740 79.132048
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.38115093-1.38111478) × R
    3.61499999999015e-05 × 6371000     		dl = 230.311649999373m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.38115093-1.38111478) × R
    3.61499999999015e-05 × 6371000     		dr = 230.311649999373m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.78884962-0.78904137) × cos(1.38115093) × R
    0.000191749999999935 × 0.188510661260718 × 6371000     		do = 230.292022839469m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.78884962-0.78904137) × cos(1.38111478) × R
    0.000191749999999935 × 0.188546163009367 × 6371000     		du = 230.335393169063m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.38115093)-sin(1.38111478))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.188510661260718-0.188546163009367)×R²
    abs(0.78904137-0.78884962)×3.55017486491083e-05×R²
    0.000191749999999935×3.55017486491083e-05×6371000²
    0.000191749999999935×3.55017486491083e-05×40589641000000     		ar = 53043.9301140592m²