Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

Tele ← 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 → Makro
9 / 205 / 333
↖ ↑ ↗
← S 47.517200°
W 35.859375°		 ← 52.803 km → S 47.517200°
W 35.156250°		 →
↑
52.564 km
↓
↑
52.564 km
↓
S 47.989922°
W 35.859375°		 ← 52.325 km →
2 763.01 km²		 S 47.989922°
W 35.156250°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 9 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 205 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 333 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.4013671875 y=0.6513671875 und der Vergrößerungsstufe zoom=9 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.4013671875 × 29)
    floor (0.4013671875 × 512)
    floor (205.5)     		tx = 205
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.6513671875 × 29)
    floor (0.6513671875 × 512)
    floor (333.5)     		ty = 333
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 9 / 205 / 333 ti = "9/205/333"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/9/205/333.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 205 ÷ 29
    205 ÷ 512     		x = 0.400390625
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 333 ÷ 29
    333 ÷ 512     		y = 0.650390625
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.400390625 × 2 - 1) × π
    -0.19921875 × 3.1415926535     		Λ = -0.62586416
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.650390625 × 2 - 1) × π
    -0.30078125 × 3.1415926535     		Φ = -0.944932165310547
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.62586416} λ = -0.62586416}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.944932165310547))-π/2
    2×atan(0.388705937754025)-π/2
    2×0.370732361652446-π/2
    0.741464723304892-1.57079632675     		φ = -0.82933160
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.62586416} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -35.859375°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.82933160 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -47.517200°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 205 KachelY 333 -0.62586416 -0.82933160 -35.859375 -47.517200
    Oben rechts KachelX + 1 206 KachelY 333 -0.61359232 -0.82933160 -35.156250 -47.517200
    Unten links KachelX 205 KachelY + 1 334 -0.62586416 -0.83758214 -35.859375 -47.989922
    Unten rechts KachelX + 1 206 KachelY + 1 334 -0.61359232 -0.83758214 -35.156250 -47.989922
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.82933160--0.83758214) × R
    0.00825054000000003 × 6371000     		dl = 52564.1903400002m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.82933160--0.83758214) × R
    0.00825054000000003 × 6371000     		dr = 52564.1903400002m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.62586416--0.61359232) × cos(-0.82933160) × R
    0.01227184 × 0.675368842609735 × 6371000     		do = 52802.9650830008m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.62586416--0.61359232) × cos(-0.83758214) × R
    0.01227184 × 0.669261315892548 × 6371000     		du = 52325.4548698482m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.82933160)-sin(-0.83758214))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.675368842609735-0.669261315892548)×R²
    abs(-0.61359232--0.62586416)×0.00610752671718751×R²
    0.01227184×0.00610752671718751×6371000²
    0.01227184×0.00610752671718751×40589641000000     		ar = 2763010811.7938m²