Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

Tele ← 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 → Makro
12 / 2050 / 2050
↖ ↑ ↗
← S  0.175781°
E  0.175781°		 ← 9 772.94 m → S  0.175781°
E  0.263672°		 →
↑
9 772.92 m
↓
↑
9 772.92 m
↓
S  0.263671°
E  0.175781°		 ← 9 772.88 m →
95 509 932 m²		 S  0.263671°
E  0.263672°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 12 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 2050 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 2050 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.5006103515625 y=0.5006103515625 und der Vergrößerungsstufe zoom=12 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.5006103515625 × 212)
    floor (0.5006103515625 × 4096)
    floor (2050.5)     		tx = 2050
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.5006103515625 × 212)
    floor (0.5006103515625 × 4096)
    floor (2050.5)     		ty = 2050
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 12 / 2050 / 2050 ti = "12/2050/2050"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/12/2050/2050.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 2050 ÷ 212
    2050 ÷ 4096     		x = 0.50048828125
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 2050 ÷ 212
    2050 ÷ 4096     		y = 0.50048828125
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.50048828125 × 2 - 1) × π
    0.0009765625 × 3.1415926535     		Λ = 0.00306796
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.50048828125 × 2 - 1) × π
    -0.0009765625 × 3.1415926535     		Φ = -0.00306796157568359
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.00306796} λ = 0.00306796}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.00306796157568359))-π/2
    2×atan(0.996936739809313)-π/2
    2×0.783864185016005-π/2
    1.56772837003201-1.57079632675     		φ = -0.00306796
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.00306796} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 0.175781°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.00306796 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -0.175781°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 2050 KachelY 2050 0.00306796 -0.00306796 0.175781 -0.175781
    Oben rechts KachelX + 1 2051 KachelY 2050 0.00460194 -0.00306796 0.263672 -0.175781
    Unten links KachelX 2050 KachelY + 1 2051 0.00306796 -0.00460193 0.175781 -0.263671
    Unten rechts KachelX + 1 2051 KachelY + 1 2051 0.00460194 -0.00460193 0.263672 -0.263671
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.00306796--0.00460193) × R
    0.00153397 × 6371000     		dl = 9772.92287m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.00306796--0.00460193) × R
    0.00153397 × 6371000     		dr = 9772.92287m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.00306796-0.00460194) × cos(-0.00306796) × R
    0.00153398 × 0.999995293814411 × 6371000     		do = 9772.94058651139m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.00306796-0.00460194) × cos(-0.00460193) × R
    0.00153398 × 0.999989411138825 × 6371000     		du = 9772.88309520184m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.00306796)-sin(-0.00460193))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.999995293814411-0.999989411138825)×R²
    abs(0.00460194-0.00306796)×5.88267558565558e-06×R²
    0.00153398×5.88267558565558e-06×6371000²
    0.00153398×5.88267558565558e-06×40589641000000     		ar = 95509932.3644171m²