Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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12 / 2050 / 2054
↖ ↑ ↗
← S  0.527336°
E  0.175781°		 ← 9 772.57 m → S  0.527336°
E  0.263672°		 →
↑
9 772.54 m
↓
↑
9 772.54 m
↓
S  0.615223°
E  0.175781°		 ← 9 772.42 m →
95 502 152 m²		 S  0.615223°
E  0.263672°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 12 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 2050 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 2054 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.5006103515625 y=0.5015869140625 und der Vergrößerungsstufe zoom=12 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.5006103515625 × 212)
    floor (0.5006103515625 × 4096)
    floor (2050.5)     		tx = 2050
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.5015869140625 × 212)
    floor (0.5015869140625 × 4096)
    floor (2054.5)     		ty = 2054
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 12 / 2050 / 2054 ti = "12/2050/2054"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/12/2050/2054.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 2050 ÷ 212
    2050 ÷ 4096     		x = 0.50048828125
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 2054 ÷ 212
    2054 ÷ 4096     		y = 0.50146484375
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.50048828125 × 2 - 1) × π
    0.0009765625 × 3.1415926535     		Λ = 0.00306796
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.50146484375 × 2 - 1) × π
    -0.0029296875 × 3.1415926535     		Φ = -0.00920388472705078
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.00306796} λ = 0.00306796}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.00920388472705078))-π/2
    2×atan(0.990838341372631)-π/2
    2×0.780796286005449-π/2
    1.5615925720109-1.57079632675     		φ = -0.00920375
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.00306796} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 0.175781°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.00920375 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -0.527336°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 2050 KachelY 2054 0.00306796 -0.00920375 0.175781 -0.527336
    Oben rechts KachelX + 1 2051 KachelY 2054 0.00460194 -0.00920375 0.263672 -0.527336
    Unten links KachelX 2050 KachelY + 1 2055 0.00306796 -0.01073766 0.175781 -0.615223
    Unten rechts KachelX + 1 2051 KachelY + 1 2055 0.00460194 -0.01073766 0.263672 -0.615223
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.00920375--0.01073766) × R
    0.00153391 × 6371000     		dl = 9772.54061m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.00920375--0.01073766) × R
    0.00153391 × 6371000     		dr = 9772.54061m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.00306796-0.00460194) × cos(-0.00920375) × R
    0.00153398 × 0.999957645791952 × 6371000     		do = 9772.57265289314m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.00306796-0.00460194) × cos(-0.01073766) × R
    0.00153398 × 0.999942351882755 × 6371000     		du = 9772.4231857238m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.00920375)-sin(-0.01073766))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.999957645791952-0.999942351882755)×R²
    abs(0.00460194-0.00306796)×1.52939091969673e-05×R²
    0.00153398×1.52939091969673e-05×6371000²
    0.00153398×1.52939091969673e-05×40589641000000     		ar = 95502151.5030075m²