Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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15 / 20504 / 28664
↖ ↑ ↗
← S 79.154810°
E 45.263672°		 ← 229.85 m → S 79.154810°
E 45.274658°		 →
↑
229.87 m
↓
↑
229.87 m
↓
S 79.156877°
E 45.263672°		 ← 229.80 m →
52 829 m²		 S 79.156877°
E 45.274658°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 15 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 20504 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 28664 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.625747680664062 y=0.874771118164062 und der Vergrößerungsstufe zoom=15 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.625747680664062 × 215)
    floor (0.625747680664062 × 32768)
    floor (20504.5)     		tx = 20504
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.874771118164062 × 215)
    floor (0.874771118164062 × 32768)
    floor (28664.5)     		ty = 28664
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 15 / 20504 / 28664 ti = "15/20504/28664"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/15/20504/28664.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 20504 ÷ 215
    20504 ÷ 32768     		x = 0.625732421875
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 28664 ÷ 215
    28664 ÷ 32768     		y = 0.874755859375
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.625732421875 × 2 - 1) × π
    0.25146484375 × 3.1415926535     		Λ = 0.79000011
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.874755859375 × 2 - 1) × π
    -0.74951171875 × 3.1415926535     		Φ = -2.35466050933716
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.79000011} λ = 0.79000011}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-2.35466050933716))-π/2
    2×atan(0.0949257274630986)-π/2
    2×0.0946421372511874-π/2
    0.189284274502375-1.57079632675     		φ = -1.38151205
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.79000011} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 45.263672°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.38151205 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -79.154810°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 20504 KachelY 28664 0.79000011 -1.38151205 45.263672 -79.154810
    Oben rechts KachelX + 1 20505 KachelY 28664 0.79019185 -1.38151205 45.274658 -79.154810
    Unten links KachelX 20504 KachelY + 1 28665 0.79000011 -1.38154813 45.263672 -79.156877
    Unten rechts KachelX + 1 20505 KachelY + 1 28665 0.79019185 -1.38154813 45.274658 -79.156877
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.38151205--1.38154813) × R
    3.60800000001049e-05 × 6371000     		dl = 229.865680000668m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.38151205--1.38154813) × R
    3.60800000001049e-05 × 6371000     		dr = 229.865680000668m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.79000011-0.79019185) × cos(-1.38151205) × R
    0.000191739999999996 × 0.188156003445525 × 6371000     		do = 229.846771513204m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.79000011-0.79019185) × cos(-1.38154813) × R
    0.000191739999999996 × 0.188120567742378 × 6371000     		du = 229.803484124997m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.38151205)-sin(-1.38154813))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.188156003445525-0.188120567742378)×R²
    abs(0.79019185-0.79000011)×3.54357031463748e-05×R²
    0.000191739999999996×3.54357031463748e-05×6371000²
    0.000191739999999996×3.54357031463748e-05×40589641000000     		ar = 52828.9092928353m²