Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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15 / 20504 / 4120
↖ ↑ ↗
← N 79.121686°
E 45.263672°		 ← 230.54 m → N 79.121686°
E 45.274658°		 →
↑
230.57 m
↓
↑
230.57 m
↓
N 79.119612°
E 45.263672°		 ← 230.58 m →
53 160 m²		 N 79.119612°
E 45.274658°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 15 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 20504 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 4120 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.625747680664062 y=0.125747680664062 und der Vergrößerungsstufe zoom=15 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.625747680664062 × 215)
    floor (0.625747680664062 × 32768)
    floor (20504.5)     		tx = 20504
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.125747680664062 × 215)
    floor (0.125747680664062 × 32768)
    floor (4120.5)     		ty = 4120
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 15 / 20504 / 4120 ti = "15/20504/4120"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/15/20504/4120.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 20504 ÷ 215
    20504 ÷ 32768     		x = 0.625732421875
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 4120 ÷ 215
    4120 ÷ 32768     		y = 0.125732421875
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.625732421875 × 2 - 1) × π
    0.25146484375 × 3.1415926535     		Λ = 0.79000011
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.125732421875 × 2 - 1) × π
    0.74853515625 × 3.1415926535     		Φ = 2.35159254776147
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.79000011} λ = 0.79000011}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(2.35159254776147))-π/2
    2×atan(10.5022817991767)-π/2
    2×1.47586512659032-π/2
    2.95173025318063-1.57079632675     		φ = 1.38093393
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.79000011} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 45.263672°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.38093393 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 79.121686°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 20504 KachelY 4120 0.79000011 1.38093393 45.263672 79.121686
    Oben rechts KachelX + 1 20505 KachelY 4120 0.79019185 1.38093393 45.274658 79.121686
    Unten links KachelX 20504 KachelY + 1 4121 0.79000011 1.38089774 45.263672 79.119612
    Unten rechts KachelX + 1 20505 KachelY + 1 4121 0.79019185 1.38089774 45.274658 79.119612
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.38093393-1.38089774) × R
    3.61900000001025e-05 × 6371000     		dl = 230.566490000653m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.38093393-1.38089774) × R
    3.61900000001025e-05 × 6371000     		dr = 230.566490000653m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.79000011-0.79019185) × cos(1.38093393) × R
    0.000191739999999996 × 0.188723766258762 × 6371000     		do = 230.540336678376m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.79000011-0.79019185) × cos(1.38089774) × R
    0.000191739999999996 × 0.18875930580859 × 6371000     		du = 230.583750923149m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.38093393)-sin(1.38089774))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.188723766258762-0.18875930580859)×R²
    abs(0.79019185-0.79000011)×3.55395498283506e-05×R²
    0.000191739999999996×3.55395498283506e-05×6371000²
    0.000191739999999996×3.55395498283506e-05×40589641000000     		ar = 53159.8811719357m²