Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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15 / 20506 / 4122
↖ ↑ ↗
← N 79.117538°
E 45.285644°		 ← 230.64 m → N 79.117538°
E 45.296631°		 →
↑
230.69 m
↓
↑
230.69 m
↓
N 79.115464°
E 45.285644°		 ← 230.68 m →
53 212 m²		 N 79.115464°
E 45.296631°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 15 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 20506 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 4122 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.625808715820312 y=0.125808715820312 und der Vergrößerungsstufe zoom=15 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.625808715820312 × 215)
    floor (0.625808715820312 × 32768)
    floor (20506.5)     		tx = 20506
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.125808715820312 × 215)
    floor (0.125808715820312 × 32768)
    floor (4122.5)     		ty = 4122
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 15 / 20506 / 4122 ti = "15/20506/4122"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/15/20506/4122.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 20506 ÷ 215
    20506 ÷ 32768     		x = 0.62579345703125
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 4122 ÷ 215
    4122 ÷ 32768     		y = 0.12579345703125
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.62579345703125 × 2 - 1) × π
    0.2515869140625 × 3.1415926535     		Λ = 0.79038360
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.12579345703125 × 2 - 1) × π
    0.7484130859375 × 3.1415926535     		Φ = 2.35120905256451
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.79038360} λ = 0.79038360}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(2.35120905256451))-π/2
    2×atan(10.4982549967287)-π/2
    2×1.47582893244571-π/2
    2.95165786489142-1.57079632675     		φ = 1.38086154
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.79038360} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 45.285644°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.38086154 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 79.117538°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 20506 KachelY 4122 0.79038360 1.38086154 45.285644 79.117538
    Oben rechts KachelX + 1 20507 KachelY 4122 0.79057535 1.38086154 45.296631 79.117538
    Unten links KachelX 20506 KachelY + 1 4123 0.79038360 1.38082533 45.285644 79.115464
    Unten rechts KachelX + 1 20507 KachelY + 1 4123 0.79057535 1.38082533 45.296631 79.115464
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.38086154-1.38082533) × R
    3.6209999999981e-05 × 6371000     		dl = 230.693909999879m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.38086154-1.38082533) × R
    3.6209999999981e-05 × 6371000     		dr = 230.693909999879m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.79038360-0.79057535) × cos(1.38086154) × R
    0.000191750000000046 × 0.188794854931363 × 6371000     		do = 230.639204982264m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.79038360-0.79057535) × cos(1.38082533) × R
    0.000191750000000046 × 0.188830413626828 × 6371000     		du = 230.682644880324m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.38086154)-sin(1.38082533))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.188794854931363-0.188830413626828)×R²
    abs(0.79057535-0.79038360)×3.55586954654541e-05×R²
    0.000191750000000046×3.55586954654541e-05×6371000²
    0.000191750000000046×3.55586954654541e-05×40589641000000     		ar = 53212.0706622703m²