Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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12 / 2051 / 2051
↖ ↑ ↗
← S  0.263671°
E  0.263672°		 ← 9 772.88 m → S  0.263671°
E  0.351562°		 →
↑
9 772.80 m
↓
↑
9 772.80 m
↓
S  0.351560°
E  0.263672°		 ← 9 772.80 m →
95 508 013 m²		 S  0.351560°
E  0.351562°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 12 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 2051 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 2051 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.5008544921875 y=0.5008544921875 und der Vergrößerungsstufe zoom=12 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.5008544921875 × 212)
    floor (0.5008544921875 × 4096)
    floor (2051.5)     		tx = 2051
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.5008544921875 × 212)
    floor (0.5008544921875 × 4096)
    floor (2051.5)     		ty = 2051
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 12 / 2051 / 2051 ti = "12/2051/2051"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/12/2051/2051.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 2051 ÷ 212
    2051 ÷ 4096     		x = 0.500732421875
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 2051 ÷ 212
    2051 ÷ 4096     		y = 0.500732421875
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.500732421875 × 2 - 1) × π
    0.00146484375 × 3.1415926535     		Λ = 0.00460194
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.500732421875 × 2 - 1) × π
    -0.00146484375 × 3.1415926535     		Φ = -0.00460194236352539
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.00460194} λ = 0.00460194}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.00460194236352539))-π/2
    2×atan(0.995408630348678)-π/2
    2×0.783097200337255-π/2
    1.56619440067451-1.57079632675     		φ = -0.00460193
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.00460194} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 0.263672°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.00460193 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -0.263671°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 2051 KachelY 2051 0.00460194 -0.00460193 0.263672 -0.263671
    Oben rechts KachelX + 1 2052 KachelY 2051 0.00613592 -0.00460193 0.351562 -0.263671
    Unten links KachelX 2051 KachelY + 1 2052 0.00460194 -0.00613588 0.263672 -0.351560
    Unten rechts KachelX + 1 2052 KachelY + 1 2052 0.00613592 -0.00613588 0.351562 -0.351560
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.00460193--0.00613588) × R
    0.00153395 × 6371000     		dl = 9772.79545m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.00460193--0.00613588) × R
    0.00153395 × 6371000     		dr = 9772.79545m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.00460194-0.00613592) × cos(-0.00460193) × R
    0.00153398 × 0.999989411138825 × 6371000     		do = 9772.88309520184m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.00460194-0.00613592) × cos(-0.00613588) × R
    0.00153398 × 0.999981175547373 × 6371000     		du = 9772.8026088771m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.00460193)-sin(-0.00613588))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.999989411138825-0.999981175547373)×R²
    abs(0.00613592-0.00460194)×8.23559145179953e-06×R²
    0.00153398×8.23559145179953e-06×6371000²
    0.00153398×8.23559145179953e-06×40589641000000     		ar = 95508012.8855273m²