Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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15 / 20511 / 4127
↖ ↑ ↗
← N 79.107163°
E 45.340576°		 ← 230.86 m → N 79.107163°
E 45.351563°		 →
↑
230.89 m
↓
↑
230.89 m
↓
N 79.105086°
E 45.340576°		 ← 230.90 m →
53 306 m²		 N 79.105086°
E 45.351563°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 15 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 20511 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 4127 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.625961303710938 y=0.125961303710938 und der Vergrößerungsstufe zoom=15 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.625961303710938 × 215)
    floor (0.625961303710938 × 32768)
    floor (20511.5)     		tx = 20511
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.125961303710938 × 215)
    floor (0.125961303710938 × 32768)
    floor (4127.5)     		ty = 4127
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 15 / 20511 / 4127 ti = "15/20511/4127"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/15/20511/4127.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 20511 ÷ 215
    20511 ÷ 32768     		x = 0.625946044921875
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 4127 ÷ 215
    4127 ÷ 32768     		y = 0.125946044921875
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.625946044921875 × 2 - 1) × π
    0.25189208984375 × 3.1415926535     		Λ = 0.79134234
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.125946044921875 × 2 - 1) × π
    0.74810791015625 × 3.1415926535     		Φ = 2.35025031457211
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.79134234} λ = 0.79134234}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(2.35025031457211))-π/2
    2×atan(10.4881947441532)-π/2
    2×1.47573838742799-π/2
    2.95147677485598-1.57079632675     		φ = 1.38068045
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.79134234} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 45.340576°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.38068045 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 79.107163°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 20511 KachelY 4127 0.79134234 1.38068045 45.340576 79.107163
    Oben rechts KachelX + 1 20512 KachelY 4127 0.79153409 1.38068045 45.351563 79.107163
    Unten links KachelX 20511 KachelY + 1 4128 0.79134234 1.38064421 45.340576 79.105086
    Unten rechts KachelX + 1 20512 KachelY + 1 4128 0.79153409 1.38064421 45.351563 79.105086
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.38068045-1.38064421) × R
    3.62400000000207e-05 × 6371000     		dl = 230.885040000132m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.38068045-1.38064421) × R
    3.62400000000207e-05 × 6371000     		dr = 230.885040000132m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.79134234-0.79153409) × cos(1.38068045) × R
    0.000191749999999935 × 0.188972685211641 × 6371000     		do = 230.856449432357m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.79134234-0.79153409) × cos(1.38064421) × R
    0.000191749999999935 × 0.189008272127693 × 6371000     		du = 230.899923805793m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.38068045)-sin(1.38064421))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.188972685211641-0.189008272127693)×R²
    abs(0.79153409-0.79134234)×3.55869160521549e-05×R²
    0.000191749999999935×3.55869160521549e-05×6371000²
    0.000191749999999935×3.55869160521549e-05×40589641000000     		ar = 53306.3193585252m²