Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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15 / 20512 / 12320
↖ ↑ ↗
← N 40.713956°
E 45.351563°		 ← 925.92 m → N 40.713956°
E 45.362549°		 →
↑
926.02 m
↓
↑
926.02 m
↓
N 40.705628°
E 45.351563°		 ← 926.04 m →
857 483 m²		 N 40.705628°
E 45.362549°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 15 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 20512 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 12320 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.625991821289062 y=0.375991821289062 und der Vergrößerungsstufe zoom=15 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.625991821289062 × 215)
    floor (0.625991821289062 × 32768)
    floor (20512.5)     		tx = 20512
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.375991821289062 × 215)
    floor (0.375991821289062 × 32768)
    floor (12320.5)     		ty = 12320
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 15 / 20512 / 12320 ti = "15/20512/12320"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/15/20512/12320.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 20512 ÷ 215
    20512 ÷ 32768     		x = 0.6259765625
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 12320 ÷ 215
    12320 ÷ 32768     		y = 0.3759765625
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.6259765625 × 2 - 1) × π
    0.251953125 × 3.1415926535     		Λ = 0.79153409
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.3759765625 × 2 - 1) × π
    0.248046875 × 3.1415926535     		Φ = 0.779262240223633
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.79153409} λ = 0.79153409}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(0.779262240223633))-π/2
    2×atan(2.1798634565377)-π/2
    2×1.14069445372912-π/2
    2.28138890745823-1.57079632675     		φ = 0.71059258
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.79153409} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 45.351563°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.71059258 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 40.713956°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 20512 KachelY 12320 0.79153409 0.71059258 45.351563 40.713956
    Oben rechts KachelX + 1 20513 KachelY 12320 0.79172583 0.71059258 45.362549 40.713956
    Unten links KachelX 20512 KachelY + 1 12321 0.79153409 0.71044723 45.351563 40.705628
    Unten rechts KachelX + 1 20513 KachelY + 1 12321 0.79172583 0.71044723 45.362549 40.705628
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.71059258-0.71044723) × R
    0.000145350000000044 × 6371000     		dl = 926.024850000281m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.71059258-0.71044723) × R
    0.000145350000000044 × 6371000     		dr = 926.024850000281m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.79153409-0.79172583) × cos(0.71059258) × R
    0.000191739999999996 × 0.757975479207299 × 6371000     		do = 925.924305319395m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.79153409-0.79172583) × cos(0.71044723) × R
    0.000191739999999996 × 0.758070280541062 × 6371000     		du = 926.040112309879m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.71059258)-sin(0.71044723))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.757975479207299-0.758070280541062)×R²
    abs(0.79172583-0.79153409)×9.48013337628284e-05×R²
    0.000191739999999996×9.48013337628284e-05×6371000²
    0.000191739999999996×9.48013337628284e-05×40589641000000     		ar = 857482.537529699m²