Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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15 / 20512 / 4191
↖ ↑ ↗
← N 78.973488°
E 45.351563°		 ← 233.64 m → N 78.973488°
E 45.362549°		 →
↑
233.69 m
↓
↑
233.69 m
↓
N 78.971386°
E 45.351563°		 ← 233.69 m →
54 605 m²		 N 78.971386°
E 45.362549°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 15 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 20512 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 4191 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.625991821289062 y=0.127914428710938 und der Vergrößerungsstufe zoom=15 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.625991821289062 × 215)
    floor (0.625991821289062 × 32768)
    floor (20512.5)     		tx = 20512
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.127914428710938 × 215)
    floor (0.127914428710938 × 32768)
    floor (4191.5)     		ty = 4191
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 15 / 20512 / 4191 ti = "15/20512/4191"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/15/20512/4191.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 20512 ÷ 215
    20512 ÷ 32768     		x = 0.6259765625
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 4191 ÷ 215
    4191 ÷ 32768     		y = 0.127899169921875
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.6259765625 × 2 - 1) × π
    0.251953125 × 3.1415926535     		Λ = 0.79153409
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.127899169921875 × 2 - 1) × π
    0.74420166015625 × 3.1415926535     		Φ = 2.33797846826938
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.79153409} λ = 0.79153409}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(2.33797846826938))-π/2
    2×atan(10.3602717612624)-π/2
    2×1.47457185190185-π/2
    2.9491437038037-1.57079632675     		φ = 1.37834738
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.79153409} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 45.351563°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.37834738 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 78.973488°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 20512 KachelY 4191 0.79153409 1.37834738 45.351563 78.973488
    Oben rechts KachelX + 1 20513 KachelY 4191 0.79172583 1.37834738 45.362549 78.973488
    Unten links KachelX 20512 KachelY + 1 4192 0.79153409 1.37831070 45.351563 78.971386
    Unten rechts KachelX + 1 20513 KachelY + 1 4192 0.79172583 1.37831070 45.362549 78.971386
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.37834738-1.37831070) × R
    3.66799999997891e-05 × 6371000     		dl = 233.688279998656m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.37834738-1.37831070) × R
    3.66799999997891e-05 × 6371000     		dr = 233.688279998656m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.79153409-0.79172583) × cos(1.37834738) × R
    0.000191739999999996 × 0.191263202371599 × 6371000     		do = 233.64244971921m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.79153409-0.79172583) × cos(1.37831070) × R
    0.000191739999999996 × 0.191299205085577 × 6371000     		du = 233.68642975398m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.37834738)-sin(1.37831070))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.191263202371599-0.191299205085577)×R²
    abs(0.79172583-0.79153409)×3.60027139785501e-05×R²
    0.000191739999999996×3.60027139785501e-05×6371000²
    0.000191739999999996×3.60027139785501e-05×40589641000000     		ar = 54604.6410245836m²