Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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15 / 20516 / 12324
↖ ↑ ↗
← N 40.680638°
E 45.395508°		 ← 926.39 m → N 40.680638°
E 45.406494°		 →
↑
926.53 m
↓
↑
926.53 m
↓
N 40.672306°
E 45.395508°		 ← 926.50 m →
858 384 m²		 N 40.672306°
E 45.406494°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 15 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 20516 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 12324 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.626113891601562 y=0.376113891601562 und der Vergrößerungsstufe zoom=15 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.626113891601562 × 215)
    floor (0.626113891601562 × 32768)
    floor (20516.5)     		tx = 20516
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.376113891601562 × 215)
    floor (0.376113891601562 × 32768)
    floor (12324.5)     		ty = 12324
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 15 / 20516 / 12324 ti = "15/20516/12324"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/15/20516/12324.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 20516 ÷ 215
    20516 ÷ 32768     		x = 0.6260986328125
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 12324 ÷ 215
    12324 ÷ 32768     		y = 0.3760986328125
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.6260986328125 × 2 - 1) × π
    0.252197265625 × 3.1415926535     		Λ = 0.79230108
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.3760986328125 × 2 - 1) × π
    0.247802734375 × 3.1415926535     		Φ = 0.778495249829712
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.79230108} λ = 0.79230108}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(0.778495249829712))-π/2
    2×atan(2.17819216322136)-π/2
    2×1.14040370106501-π/2
    2.28080740213002-1.57079632675     		φ = 0.71001108
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.79230108} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 45.395508°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.71001108 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 40.680638°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 20516 KachelY 12324 0.79230108 0.71001108 45.395508 40.680638
    Oben rechts KachelX + 1 20517 KachelY 12324 0.79249282 0.71001108 45.406494 40.680638
    Unten links KachelX 20516 KachelY + 1 12325 0.79230108 0.70986565 45.395508 40.672306
    Unten rechts KachelX + 1 20517 KachelY + 1 12325 0.79249282 0.70986565 45.406494 40.672306
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.71001108-0.70986565) × R
    0.000145430000000002 × 6371000     		dl = 926.534530000012m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.71001108-0.70986565) × R
    0.000145430000000002 × 6371000     		dr = 926.534530000012m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.79230108-0.79249282) × cos(0.71001108) × R
    0.000191739999999996 × 0.758354653625775 × 6371000     		do = 926.387495514398m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.79230108-0.79249282) × cos(0.70986565) × R
    0.000191739999999996 × 0.758449443013195 × 6371000     		du = 926.503287911523m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.71001108)-sin(0.70986565))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.758354653625775-0.758449443013195)×R²
    abs(0.79249282-0.79230108)×9.47893874202466e-05×R²
    0.000191739999999996×9.47893874202466e-05×6371000²
    0.000191739999999996×9.47893874202466e-05×40589641000000     		ar = 858383.647094202m²