Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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15 / 20516 / 20516
↖ ↑ ↗
← S 41.277806°
E 45.395508°		 ← 918.04 m → S 41.277806°
E 45.406494°		 →
↑
918 m
↓
↑
918 m
↓
S 41.286062°
E 45.395508°		 ← 917.92 m →
842 703 m²		 S 41.286062°
E 45.406494°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 15 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 20516 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 20516 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.626113891601562 y=0.626113891601562 und der Vergrößerungsstufe zoom=15 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.626113891601562 × 215)
    floor (0.626113891601562 × 32768)
    floor (20516.5)     		tx = 20516
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.626113891601562 × 215)
    floor (0.626113891601562 × 32768)
    floor (20516.5)     		ty = 20516
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 15 / 20516 / 20516 ti = "15/20516/20516"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/15/20516/20516.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 20516 ÷ 215
    20516 ÷ 32768     		x = 0.6260986328125
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 20516 ÷ 215
    20516 ÷ 32768     		y = 0.6260986328125
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.6260986328125 × 2 - 1) × π
    0.252197265625 × 3.1415926535     		Λ = 0.79230108
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.6260986328125 × 2 - 1) × π
    -0.252197265625 × 3.1415926535     		Φ = -0.792301076920288
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.79230108} λ = 0.79230108}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.792301076920288))-π/2
    2×atan(0.452801664121336)-π/2
    2×0.425181347977547-π/2
    0.850362695955093-1.57079632675     		φ = -0.72043363
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.79230108} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 45.395508°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.72043363 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -41.277806°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 20516 KachelY 20516 0.79230108 -0.72043363 45.395508 -41.277806
    Oben rechts KachelX + 1 20517 KachelY 20516 0.79249282 -0.72043363 45.406494 -41.277806
    Unten links KachelX 20516 KachelY + 1 20517 0.79230108 -0.72057772 45.395508 -41.286062
    Unten rechts KachelX + 1 20517 KachelY + 1 20517 0.79249282 -0.72057772 45.406494 -41.286062
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.72043363--0.72057772) × R
    0.00014408999999993 × 6371000     		dl = 917.997389999555m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.72043363--0.72057772) × R
    0.00014408999999993 × 6371000     		dr = 917.997389999555m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.79230108-0.79249282) × cos(-0.72043363) × R
    0.000191739999999996 × 0.751519729491663 × 6371000     		do = 918.038119374412m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.79230108-0.79249282) × cos(-0.72057772) × R
    0.000191739999999996 × 0.751424663987908 × 6371000     		du = 917.921989680327m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.72043363)-sin(-0.72057772))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.751519729491663-0.751424663987908)×R²
    abs(0.79249282-0.79230108)×9.50655037555981e-05×R²
    0.000191739999999996×9.50655037555981e-05×6371000²
    0.000191739999999996×9.50655037555981e-05×40589641000000     		ar = 842703.29558556m²