Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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15 / 20516 / 4132
↖ ↑ ↗
← N 79.096777°
E 45.395508°		 ← 231.06 m → N 79.096777°
E 45.406494°		 →
↑
231.14 m
↓
↑
231.14 m
↓
N 79.094699°
E 45.395508°		 ← 231.11 m →
53 413 m²		 N 79.094699°
E 45.406494°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 15 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 20516 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 4132 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.626113891601562 y=0.126113891601562 und der Vergrößerungsstufe zoom=15 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.626113891601562 × 215)
    floor (0.626113891601562 × 32768)
    floor (20516.5)     		tx = 20516
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.126113891601562 × 215)
    floor (0.126113891601562 × 32768)
    floor (4132.5)     		ty = 4132
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 15 / 20516 / 4132 ti = "15/20516/4132"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/15/20516/4132.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 20516 ÷ 215
    20516 ÷ 32768     		x = 0.6260986328125
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 4132 ÷ 215
    4132 ÷ 32768     		y = 0.1260986328125
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.6260986328125 × 2 - 1) × π
    0.252197265625 × 3.1415926535     		Λ = 0.79230108
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.1260986328125 × 2 - 1) × π
    0.747802734375 × 3.1415926535     		Φ = 2.34929157657971
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.79230108} λ = 0.79230108}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(2.34929157657971))-π/2
    2×atan(10.4781441321019)-π/2
    2×1.47564775712527-π/2
    2.95129551425055-1.57079632675     		φ = 1.38049919
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.79230108} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 45.395508°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.38049919 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 79.096777°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 20516 KachelY 4132 0.79230108 1.38049919 45.395508 79.096777
    Oben rechts KachelX + 1 20517 KachelY 4132 0.79249282 1.38049919 45.406494 79.096777
    Unten links KachelX 20516 KachelY + 1 4133 0.79230108 1.38046291 45.395508 79.094699
    Unten rechts KachelX + 1 20517 KachelY + 1 4133 0.79249282 1.38046291 45.406494 79.094699
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.38049919-1.38046291) × R
    3.62799999999996e-05 × 6371000     		dl = 231.139879999998m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.38049919-1.38046291) × R
    3.62799999999996e-05 × 6371000     		dr = 231.139879999998m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.79230108-0.79249282) × cos(1.38049919) × R
    0.000191739999999996 × 0.189150676226003 × 6371000     		do = 231.061839452139m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.79230108-0.79249282) × cos(1.38046291) × R
    0.000191739999999996 × 0.189186301177666 × 6371000     		du = 231.105358021705m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.38049919)-sin(1.38046291))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.189150676226003-0.189186301177666)×R²
    abs(0.79249282-0.79230108)×3.56249516637042e-05×R²
    0.000191739999999996×3.56249516637042e-05×6371000²
    0.000191739999999996×3.56249516637042e-05×40589641000000     		ar = 53412.6352879557m²