Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

Tele ← 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 → Makro
15 / 20520 / 4136
↖ ↑ ↗
← N 79.088462°
E 45.439453°		 ← 231.24 m → N 79.088462°
E 45.450439°		 →
↑
231.27 m
↓
↑
231.27 m
↓
N 79.086382°
E 45.439453°		 ← 231.28 m →
53 482 m²		 N 79.086382°
E 45.450439°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 15 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 20520 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 4136 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.626235961914062 y=0.126235961914062 und der Vergrößerungsstufe zoom=15 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.626235961914062 × 215)
    floor (0.626235961914062 × 32768)
    floor (20520.5)     		tx = 20520
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.126235961914062 × 215)
    floor (0.126235961914062 × 32768)
    floor (4136.5)     		ty = 4136
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 15 / 20520 / 4136 ti = "15/20520/4136"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/15/20520/4136.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 20520 ÷ 215
    20520 ÷ 32768     		x = 0.626220703125
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 4136 ÷ 215
    4136 ÷ 32768     		y = 0.126220703125
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.626220703125 × 2 - 1) × π
    0.25244140625 × 3.1415926535     		Λ = 0.79306807
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.126220703125 × 2 - 1) × π
    0.74755859375 × 3.1415926535     		Φ = 2.34852458618579
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.79306807} λ = 0.79306807}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(2.34852458618579))-π/2
    2×atan(10.4701105774299)-π/2
    2×1.47557519142593-π/2
    2.95115038285186-1.57079632675     		φ = 1.38035406
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.79306807} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 45.439453°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.38035406 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 79.088462°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 20520 KachelY 4136 0.79306807 1.38035406 45.439453 79.088462
    Oben rechts KachelX + 1 20521 KachelY 4136 0.79325981 1.38035406 45.450439 79.088462
    Unten links KachelX 20520 KachelY + 1 4137 0.79306807 1.38031776 45.439453 79.086382
    Unten rechts KachelX + 1 20521 KachelY + 1 4137 0.79325981 1.38031776 45.450439 79.086382
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.38035406-1.38031776) × R
    3.62999999998781e-05 × 6371000     		dl = 231.267299999223m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.38035406-1.38031776) × R
    3.62999999998781e-05 × 6371000     		dr = 231.267299999223m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.79306807-0.79325981) × cos(1.38035406) × R
    0.000191739999999996 × 0.189293184357591 × 6371000     		do = 231.235923899938m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.79306807-0.79325981) × cos(1.38031776) × R
    0.000191739999999996 × 0.189328827951122 × 6371000     		du = 231.279465241954m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.38035406)-sin(1.38031776))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.189293184357591-0.189328827951122)×R²
    abs(0.79325981-0.79306807)×3.56435935313371e-05×R²
    0.000191739999999996×3.56435935313371e-05×6371000²
    0.000191739999999996×3.56435935313371e-05×40589641000000     		ar = 53482.3426330178m²