Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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15 / 20520 / 4137
↖ ↑ ↗
← N 79.086382°
E 45.439453°		 ← 231.28 m → N 79.086382°
E 45.450439°		 →
↑
231.33 m
↓
↑
231.33 m
↓
N 79.084302°
E 45.439453°		 ← 231.32 m →
53 507 m²		 N 79.084302°
E 45.450439°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 15 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 20520 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 4137 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.626235961914062 y=0.126266479492188 und der Vergrößerungsstufe zoom=15 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.626235961914062 × 215)
    floor (0.626235961914062 × 32768)
    floor (20520.5)     		tx = 20520
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.126266479492188 × 215)
    floor (0.126266479492188 × 32768)
    floor (4137.5)     		ty = 4137
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 15 / 20520 / 4137 ti = "15/20520/4137"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/15/20520/4137.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 20520 ÷ 215
    20520 ÷ 32768     		x = 0.626220703125
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 4137 ÷ 215
    4137 ÷ 32768     		y = 0.126251220703125
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.626220703125 × 2 - 1) × π
    0.25244140625 × 3.1415926535     		Λ = 0.79306807
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.126251220703125 × 2 - 1) × π
    0.74749755859375 × 3.1415926535     		Φ = 2.34833283858731
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.79306807} λ = 0.79306807}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(2.34833283858731))-π/2
    2×atan(10.4681031513366)-π/2
    2×1.47555704146021-π/2
    2.95111408292043-1.57079632675     		φ = 1.38031776
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.79306807} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 45.439453°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.38031776 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 79.086382°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 20520 KachelY 4137 0.79306807 1.38031776 45.439453 79.086382
    Oben rechts KachelX + 1 20521 KachelY 4137 0.79325981 1.38031776 45.450439 79.086382
    Unten links KachelX 20520 KachelY + 1 4138 0.79306807 1.38028145 45.439453 79.084302
    Unten rechts KachelX + 1 20521 KachelY + 1 4138 0.79325981 1.38028145 45.450439 79.084302
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.38031776-1.38028145) × R
    3.63100000000394e-05 × 6371000     		dl = 231.331010000251m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.38031776-1.38028145) × R
    3.63100000000394e-05 × 6371000     		dr = 231.331010000251m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.79306807-0.79325981) × cos(1.38031776) × R
    0.000191739999999996 × 0.189328827951122 × 6371000     		do = 231.279465241954m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.79306807-0.79325981) × cos(1.38028145) × R
    0.000191739999999996 × 0.189364481114245 × 6371000     		du = 231.323018273949m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.38031776)-sin(1.38028145))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.189328827951122-0.189364481114245)×R²
    abs(0.79325981-0.79306807)×3.56531631234558e-05×R²
    0.000191739999999996×3.56531631234558e-05×6371000²
    0.000191739999999996×3.56531631234558e-05×40589641000000     		ar = 53507.1498765704m²