Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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15 / 20520 / 4152
↖ ↑ ↗
← N 79.055138°
E 45.439453°		 ← 231.93 m → N 79.055138°
E 45.450439°		 →
↑
231.97 m
↓
↑
231.97 m
↓
N 79.053051°
E 45.439453°		 ← 231.98 m →
53 806 m²		 N 79.053051°
E 45.450439°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 15 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 20520 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 4152 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.626235961914062 y=0.126724243164062 und der Vergrößerungsstufe zoom=15 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.626235961914062 × 215)
    floor (0.626235961914062 × 32768)
    floor (20520.5)     		tx = 20520
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.126724243164062 × 215)
    floor (0.126724243164062 × 32768)
    floor (4152.5)     		ty = 4152
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 15 / 20520 / 4152 ti = "15/20520/4152"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/15/20520/4152.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 20520 ÷ 215
    20520 ÷ 32768     		x = 0.626220703125
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 4152 ÷ 215
    4152 ÷ 32768     		y = 0.126708984375
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.626220703125 × 2 - 1) × π
    0.25244140625 × 3.1415926535     		Λ = 0.79306807
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.126708984375 × 2 - 1) × π
    0.74658203125 × 3.1415926535     		Φ = 2.34545662461011
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.79306807} λ = 0.79306807}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(2.34545662461011))-π/2
    2×atan(10.438037904506)-π/2
    2×1.47528438151655-π/2
    2.95056876303309-1.57079632675     		φ = 1.37977244
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.79306807} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 45.439453°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.37977244 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 79.055138°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 20520 KachelY 4152 0.79306807 1.37977244 45.439453 79.055138
    Oben rechts KachelX + 1 20521 KachelY 4152 0.79325981 1.37977244 45.450439 79.055138
    Unten links KachelX 20520 KachelY + 1 4153 0.79306807 1.37973603 45.439453 79.053051
    Unten rechts KachelX + 1 20521 KachelY + 1 4153 0.79325981 1.37973603 45.450439 79.053051
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.37977244-1.37973603) × R
    3.64100000000978e-05 × 6371000     		dl = 231.968110000623m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.37977244-1.37973603) × R
    3.64100000000978e-05 × 6371000     		dr = 231.968110000623m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.79306807-0.79325981) × cos(1.37977244) × R
    0.000191739999999996 × 0.18986425697514 × 6371000     		do = 231.9335322411m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.79306807-0.79325981) × cos(1.37973603) × R
    0.000191739999999996 × 0.189900004564135 × 6371000     		du = 231.977200621431m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.37977244)-sin(1.37973603))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.18986425697514-0.189900004564135)×R²
    abs(0.79325981-0.79306807)×3.57475889956327e-05×R²
    0.000191739999999996×3.57475889956327e-05×6371000²
    0.000191739999999996×3.57475889956327e-05×40589641000000     		ar = 53806.2479616227m²