Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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15 / 20521 / 4135
↖ ↑ ↗
← N 79.090541°
E 45.450439°		 ← 231.20 m → N 79.090541°
E 45.461426°		 →
↑
231.20 m
↓
↑
231.20 m
↓
N 79.088462°
E 45.450439°		 ← 231.25 m →
53 460 m²		 N 79.088462°
E 45.461426°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 15 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 20521 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 4135 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.626266479492188 y=0.126205444335938 und der Vergrößerungsstufe zoom=15 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.626266479492188 × 215)
    floor (0.626266479492188 × 32768)
    floor (20521.5)     		tx = 20521
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.126205444335938 × 215)
    floor (0.126205444335938 × 32768)
    floor (4135.5)     		ty = 4135
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 15 / 20521 / 4135 ti = "15/20521/4135"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/15/20521/4135.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 20521 ÷ 215
    20521 ÷ 32768     		x = 0.626251220703125
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 4135 ÷ 215
    4135 ÷ 32768     		y = 0.126190185546875
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.626251220703125 × 2 - 1) × π
    0.25250244140625 × 3.1415926535     		Λ = 0.79325981
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.126190185546875 × 2 - 1) × π
    0.74761962890625 × 3.1415926535     		Φ = 2.34871633378427
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.79325981} λ = 0.79325981}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(2.34871633378427))-π/2
    2×atan(10.4721183884793)-π/2
    2×1.47559333797467-π/2
    2.95118667594935-1.57079632675     		φ = 1.38039035
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.79325981} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 45.450439°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.38039035 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 79.090541°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 20521 KachelY 4135 0.79325981 1.38039035 45.450439 79.090541
    Oben rechts KachelX + 1 20522 KachelY 4135 0.79345156 1.38039035 45.461426 79.090541
    Unten links KachelX 20521 KachelY + 1 4136 0.79325981 1.38035406 45.450439 79.088462
    Unten rechts KachelX + 1 20522 KachelY + 1 4136 0.79345156 1.38035406 45.461426 79.088462
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.38039035-1.38035406) × R
    3.62900000001609e-05 × 6371000     		dl = 231.203590001025m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.38039035-1.38035406) × R
    3.62900000001609e-05 × 6371000     		dr = 231.203590001025m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.79325981-0.79345156) × cos(1.38039035) × R
    0.000191749999999935 × 0.189257550333904 × 6371000     		do = 231.204451846669m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.79325981-0.79345156) × cos(1.38035406) × R
    0.000191749999999935 × 0.189293184357591 × 6371000     		du = 231.24798376864m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.38039035)-sin(1.38035406))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.189257550333904-0.189293184357591)×R²
    abs(0.79345156-0.79325981)×3.56340236865038e-05×R²
    0.000191749999999935×3.56340236865038e-05×6371000²
    0.000191749999999935×3.56340236865038e-05×40589641000000     		ar = 53460.3316653521m²