Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

Tele ← 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 → Makro
15 / 20522 / 4138
↖ ↑ ↗
← N 79.084302°
E 45.461426°		 ← 231.34 m → N 79.084302°
E 45.472412°		 →
↑
231.33 m
↓
↑
231.33 m
↓
N 79.082221°
E 45.461426°		 ← 231.38 m →
53 520 m²		 N 79.082221°
E 45.472412°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 15 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 20522 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 4138 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.626296997070312 y=0.126296997070312 und der Vergrößerungsstufe zoom=15 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.626296997070312 × 215)
    floor (0.626296997070312 × 32768)
    floor (20522.5)     		tx = 20522
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.126296997070312 × 215)
    floor (0.126296997070312 × 32768)
    floor (4138.5)     		ty = 4138
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 15 / 20522 / 4138 ti = "15/20522/4138"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/15/20522/4138.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 20522 ÷ 215
    20522 ÷ 32768     		x = 0.62628173828125
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 4138 ÷ 215
    4138 ÷ 32768     		y = 0.12628173828125
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.62628173828125 × 2 - 1) × π
    0.2525634765625 × 3.1415926535     		Λ = 0.79345156
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.12628173828125 × 2 - 1) × π
    0.7474365234375 × 3.1415926535     		Φ = 2.34814109098883
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.79345156} λ = 0.79345156}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(2.34814109098883))-π/2
    2×atan(10.4660961101255)-π/2
    2×1.47553888807691-π/2
    2.95107777615382-1.57079632675     		φ = 1.38028145
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.79345156} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 45.461426°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.38028145 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 79.084302°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 20522 KachelY 4138 0.79345156 1.38028145 45.461426 79.084302
    Oben rechts KachelX + 1 20523 KachelY 4138 0.79364331 1.38028145 45.472412 79.084302
    Unten links KachelX 20522 KachelY + 1 4139 0.79345156 1.38024514 45.461426 79.082221
    Unten rechts KachelX + 1 20523 KachelY + 1 4139 0.79364331 1.38024514 45.472412 79.082221
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.38028145-1.38024514) × R
    3.63100000000394e-05 × 6371000     		dl = 231.331010000251m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.38028145-1.38024514) × R
    3.63100000000394e-05 × 6371000     		dr = 231.331010000251m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.79345156-0.79364331) × cos(1.38028145) × R
    0.000191750000000046 × 0.189364481114245 × 6371000     		do = 231.335082685101m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.79345156-0.79364331) × cos(1.38024514) × R
    0.000191750000000046 × 0.189400134027708 × 6371000     		du = 231.378637683564m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.38028145)-sin(1.38024514))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.189364481114245-0.189400134027708)×R²
    abs(0.79364331-0.79345156)×3.56529134622752e-05×R²
    0.000191750000000046×3.56529134622752e-05×6371000²
    0.000191750000000046×3.56529134622752e-05×40589641000000     		ar = 53520.0161422279m²