Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

Tele ← 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 → Makro
15 / 20524 / 4124
↖ ↑ ↗
← N 79.113389°
E 45.483399°		 ← 230.73 m → N 79.113389°
E 45.494385°		 →
↑
230.76 m
↓
↑
230.76 m
↓
N 79.111314°
E 45.483399°		 ← 230.77 m →
53 247 m²		 N 79.111314°
E 45.494385°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 15 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 20524 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 4124 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.626358032226562 y=0.125869750976562 und der Vergrößerungsstufe zoom=15 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.626358032226562 × 215)
    floor (0.626358032226562 × 32768)
    floor (20524.5)     		tx = 20524
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.125869750976562 × 215)
    floor (0.125869750976562 × 32768)
    floor (4124.5)     		ty = 4124
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 15 / 20524 / 4124 ti = "15/20524/4124"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/15/20524/4124.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 20524 ÷ 215
    20524 ÷ 32768     		x = 0.6263427734375
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 4124 ÷ 215
    4124 ÷ 32768     		y = 0.1258544921875
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.6263427734375 × 2 - 1) × π
    0.252685546875 × 3.1415926535     		Λ = 0.79383506
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.1258544921875 × 2 - 1) × π
    0.748291015625 × 3.1415926535     		Φ = 2.35082555736755
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.79383506} λ = 0.79383506}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(2.35082555736755))-π/2
    2×atan(10.494229738244)-π/2
    2×1.47579272466787-π/2
    2.95158544933575-1.57079632675     		φ = 1.38078912
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.79383506} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 45.483399°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.38078912 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 79.113389°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 20524 KachelY 4124 0.79383506 1.38078912 45.483399 79.113389
    Oben rechts KachelX + 1 20525 KachelY 4124 0.79402681 1.38078912 45.494385 79.113389
    Unten links KachelX 20524 KachelY + 1 4125 0.79383506 1.38075290 45.483399 79.111314
    Unten rechts KachelX + 1 20525 KachelY + 1 4125 0.79402681 1.38075290 45.494385 79.111314
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.38078912-1.38075290) × R
    3.62199999999202e-05 × 6371000     		dl = 230.757619999492m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.38078912-1.38075290) × R
    3.62199999999202e-05 × 6371000     		dr = 230.757619999492m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.79383506-0.79402681) × cos(1.38078912) × R
    0.000191749999999935 × 0.188865972074706 × 6371000     		do = 230.726084475787m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.79383506-0.79402681) × cos(1.38075290) × R
    0.000191749999999935 × 0.18890154009491 × 6371000     		du = 230.769535765313m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.38078912)-sin(1.38075290))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.188865972074706-0.18890154009491)×R²
    abs(0.79402681-0.79383506)×3.55680202037689e-05×R²
    0.000191749999999935×3.55680202037689e-05×6371000²
    0.000191749999999935×3.55680202037689e-05×40589641000000     		ar = 53246.8154893501m²